《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 1 （2020·全国Ⅱ卷理）在△ABC 中，sin²A - sin²B - sin²C = sin B sin C.
（1）求角 A 的大小；
（2）若 BC = 3，求△ABC 周长的最大值.

答案：
(1)由题意及正弦定理可得$BC^{2} - AC^{2} - AB^{2} = AC · AB$，所以$\cos A = \frac{AC^{2} + AB^{2} - BC^{2}}{2AC · AB} = - \frac{1}{2}$。又因为$A \in (0,\pi)$，所以$A = \frac{2\pi}{3}$。
(2)方法一：由余弦定理得$BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} - 2AC · AB\cos A = AC^{2} + AB^{2} + AC · AB = 9$，即$(AC + AB)^{2} - AC · AB = 9$。因为$AC · AB \leq (\frac{AC + AB}{2})^{2}$（当且仅当$AC = AB$时取等号），所以$9 = (AC + AB)^{2} - AC · AB \geq (AC + AB)^{2} - (\frac{AC + AB}{2})^{2} = \frac{3}{4}(AC + AB)^{2}$，解得$AC + AB \leq 2\sqrt{3}$（当且仅当$AC = AB$时取等号），所以$\triangle ABC$的周长$L = AC + AB + BC \leq 3 + 2\sqrt{3}$，所以$\triangle ABC$周长的最大值为$3 + 2\sqrt{3}$。
方法二：由正弦定理及
(1)得$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = 2\sqrt{3}$，从而$AC = 2\sqrt{3}\sin B$，$AB = 2\sqrt{3}\sin(\pi - A - B) = 3\cos B - \sqrt{3}\sin B$，故$BC + AC + AB = 3 + \sqrt{3}\sin B + 3\cos B = 3 + 2\sqrt{3}\sin(B + \frac{\pi}{3})$。又$0 ＜ B ＜ \frac{\pi}{3}$，所以当$B = \frac{\pi}{6}$时，$\triangle ABC$的周长取得最大值$3 + 2\sqrt{3}$。

变式 1 （2025·信阳二模）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且△ABC 的面积 S = $\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}$ sin A.
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a = √{2}，求 b + c 的取值范围.

答案：
(1)因为$S = \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}\sin A$，所以$\frac{1}{2}bc\sin A = bc\cos A\sin A$。因为$bc\sin A \neq 0$，所以$\cos A = \frac{1}{2}$。又因为$0 ＜ A ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$A = \frac{\pi}{3}$。
(2)因为$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{\sqrt{2}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$，所以$b + c = \frac{2\sqrt{6}}{3}\sin B + \frac{2\sqrt{6}}{3}\sin C = \frac{2\sqrt{6}}{3}[\sin B + \sin(\frac{2\pi}{3} - B)] = \frac{2\sqrt{6}}{3}(\frac{3}{2}\sin B + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos B) = 2\sqrt{2}\sin(B + \frac{\pi}{6})$。因为$0 ＜ B ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$\frac{2\pi}{3} - B ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$\frac{\pi}{6} ＜ B ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$\frac{\pi}{3} ＜ B + \frac{\pi}{6} ＜ \frac{2\pi}{3}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2} ＜ \sin(B + \frac{\pi}{6}) \leq 1$，所以$\sqrt{6} ＜ b + c \leq 2\sqrt{2}$，即$b + c$的取值范围为$(\sqrt{6},2\sqrt{2}]$。