《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

1. 若$\triangle ABC$的三个内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且满足$b^{2}+c^{2}=a^{2}-bc$，则$A=$(C)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{5\pi}{6}$

答案： 1.C【解析】因为$b^{2}+c^{2}=a^{2}-bc$，所以$b^{2}+c^{2}-a^{2}=-bc$，所以$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}$.又因为$0＜A＜\pi$，所以$A=\frac{2\pi}{3}$.

2. 在$\triangle ABC$中，$a,b,c$分别为角$A,B,C$的对边，若$a = 2$，$b = 3$，$A=\frac{\pi}{6}$，则$\triangle ABC$的解的个数是(C)

A.0
B.1
C.2
D.不确定

答案： 2.C【解析】方法一：在$\triangle ABC$中，由余弦定理得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，所以$4=9+c^{2}-6c·\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$c^{2}-3\sqrt{3}c+5=0$，解得$c=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}$或$c=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}$，所以$\triangle ABC$的解的个数是2.
方法二：由正弦定理得$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{3}{4}$，$b＞a$，则$B$有两解，所以$\triangle ABC$的解的个数是2.

3. (多选)在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，若$(a^{2}+c^{2}-b^{2})\tan B=\sqrt{3}ac$，则角$B$的大小可以为(BD)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{5\pi}{6}$
D.$\frac{2\pi}{3}$

答案： 3.BD【解析】根据余弦定理可知$a^{2}+c^{2}-b^{2}=2ac\cos B$，将其代入$(a^{2}+c^{2}-b^{2})\tan B=\sqrt{3}ac$，得$2ac\cos B·\frac{\sin B}{\cos B}=\sqrt{3}ac$，即$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$.又因为$0＜B＜\pi$，所以$B=\frac{\pi}{3}$或$B=\frac{2\pi}{3}$.

4. (人 A 必二 P48 练习 2(2))在$\triangle ABC$中，已知$b = 2$，$A = 45^{\circ}$，$C = 75^{\circ}$，则$c =$$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$.

答案： 4.$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$【解析】由题意知$B=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$，由正弦定理$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得$c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{2\sin75^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=\frac{2×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$.

5. 在$\triangle ABC$中，若$a = 5$，$b = 7$，$c = 8$，则$\triangle ABC$的面积为$10\sqrt{3}$.

答案： 5.$10\sqrt{3}$【解析】在$\triangle ABC$中，由余弦定理及$a=5$，$b=7$，$c=8$，可得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{49+64-25}{2×7×8}=\frac{11}{14}$，因此$\sin A=\sqrt{1-(\frac{11}{14})^{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}×7×8×\frac{5\sqrt{3}}{14}=10\sqrt{3}$.

例 1 - 1 （2025·南昌一模）在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$的对边$a,b,c$成公差为 2 的等差数列.
（1）若$\triangle ABC$为锐角三角形，求$a$的取值范围；
（2）若$7\sin A = 3\sin C$，求$\triangle ABC$的面积.

答案： 例1−1【解答】
(1)因为$a$，$b$，$c$是公差为2的等差数列，所以$b=a+2$，$c=a+4$.由三角形三边关系得$a+(a+2)＞a+4$，所以$a＞2$.又因为$\triangle ABC$为锐角三角形，所以最大角$C\in(0,\frac{\pi}{2})$，所以$\cos C＞0$，即$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}＞0$，即$a^{2}-4a-12＞0$，解得$a＜-2$(舍去)或$a＞6$，所以$a$的取值范围是$(6,+\infty)$.
(2)因为$7\sin A=3\sin C$，所以由正弦定理可得$7a=3c$，所以$7a=3(a+4)$，解得$a=3$，则$b=5$，$c=7$，所以$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=-\frac{1}{2}$，所以$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}×3×5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$.