《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式2 （2025·新乡二模）如图，点$A,B,C,D,E$均在直线$l$上，且$AB = BC = CD = DE = 1$，质点$M$与质点$N$均从点$C$出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为$\frac{1}{4}$，每个质点均移动2次。已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量$X$为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和。

（1）求质点$M$移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；
（2）求随机变量$X$的分布列及数学期望。

答案：
变式2【解答】
(1)设事件$F$为“质点$M$移动2次后到达的点所对应的积分为$0$”，由题意可知质点$M$两次移动后在点$C$，又起点为点$C$，即质点$M$的移动一次向左一次向右．所以$P(F)=\frac{1}{4}×\frac{3}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$．
(2)$X$的所有可能取值为$-400,-200,0,200,400$，则$P(X=-400)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{256}$，$P(X=-200)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{3}{8}×2=\frac{3}{64}$，$P(X=0)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×2+\frac{3}{8}×\frac{3}{8}=\frac{27}{128}$，$P(X=200)=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{27}{64}$，$P(X=400)=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{81}{256}$，所以随机变量$X$的分布列为

故$E(X)=-400×\frac{1}{256}+(-200)×\frac{3}{64}+0×\frac{27}{128}+200×\frac{27}{64}+400×\frac{81}{256}=200$．

例3 （2025·苏州期初）为更好地提升旅游品质，哈尔滨市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图。

（1）根据频率分布直方图，求$x$的值并估计该评分的上四分位数；
（2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在$[70,80)$，$[80,90)$的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数$X$的分布列和数学期望。

答案：
例3【解答】
(1)由频率分布直方图可知$0.005×10+0.010×10+0.015×10+10x+0.040×10=1$，解得$x=0.03$．因为$[90,100]$的频率为$10×0.040=0.4＞0.25$，且$[90,100]$为最后一组，所以评分的上四分位数位于区间$[90,100]$内，所以上四分位数为$90+\frac{0.4-0.25}{0.4}×10=93.75$．
(2)评分在$[70,80)$与$[80,90)$两组的频率分别为$0.15,0.3$，所以$[70,80)$内抽取人数为$6×\frac{0.15}{0.15+0.3}=2$，$[80,90)$内抽取人数为$6×\frac{0.3}{0.15+0.3}=4$，故6人中评分等级为良好的有4人．由题意可知，$X$的所有可能取值为$1,2,3$，则$P(X=1)=\frac{C_2^2C_4^1}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，$P(X=2)=\frac{C_3^2C_4^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，$P(X=3)=\frac{C_4^3}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，所以$X$的分布列为

故$E(X)=1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}=2$．