《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 3 - 2 如图，在三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，侧面 $ A C C _ { 1 } A _ { 1 } \perp $ 平面 $ A B C $，$ C A \perp C B $，$ C A = C B = 2 C C _ { 1 } = 4 $，$ E $，$ F $ 分别为 $ A C $，$ A _ { 1 } B _ { 1 } $ 的中点。
（1）求证：$ A _ { 1 } E // $ 平面 $ B C F $；
（2）若二面角 $ A - B C - C _ { 1 } $ 的大小为 $ 120 ^ { \circ } $，求证：$ B F $ 与 $ A C _ { 1 } $ 不垂直。

答案：
例3 - 2　[解答]
(1)如图，取BC中点M，连接EM，FM.在△ABC中，E，M分别是AC，BC的中点，所以EM//AB，EM=$\frac{1}{2}$AB.因为F是A₁B₁的中点，所以A₁F//AB，A₁F=$\frac{1}{2}$AB，所以EM//A₁F且EM=A₁F，所以四边形A₁EMF为平行四边形，所以A₁E//FM.又因为A₁E⊄平面BCF，FM⊂平面BCF，所以A₁E//平面BCF.
(2)假设BF⊥AC₁，因为侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，侧面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，AC⊥CB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥侧面ACC₁A₁，可得BC⊥AC₁，BC⊥CC₁，所以二面角A−BC−C₁的平面角为∠ACC₁，所以∠ACC₁=120°.因为BC⊥侧面ACC₁A₁，AC₁⊂平面ACC₁A₁，所以BC⊥AC₁.因为BF⊥AC₁，BC∩BF=B，BC，BF⊂平面BCF，所以AC₁⊥平面BCF.又因为FM⊂平面BCF，所以AC₁⊥FM.由
(1)知A₁E//FM，所以AC₁⊥A₁E.在平行四边形ACC₁A₁中，A₁C₁=4，CC₁=2，∠ACC₁=120°，所以A₁E=2，EC₁=2$\sqrt{3}$，所以A₁E²+EC₁²=A₁C₁²，所以EC₁⊥A₁E，所以AC₁//EC₁，与AC₁∩EC₁=C₁矛盾，所以BF与AC₁不垂直.
　　

在立体几何垂直关系的证明中，若题目条件包含长度与角度信息，应优先考虑运用平面几何知识（如勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一等）进行论证；若条件给出面面垂直，则应直接利用其性质定理，即在相关平面内寻找或作出一条垂直于交线的直线。对于证明“不平行”或“不垂直”这类否定性命题，反证法通常是首选的推理方法。

答案： 假设题目为：已知，在三棱锥$P - ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$PA=AB$，$E$，$F$分别是$PB$和$BC$的中点。求证$EF\perp PA$；$EF\perp AB$。
证明$EF\perp PA$
因为$E$，$F$分别是$PB$和$BC$的中点，根据三角形中位线定理，在$\triangle PBC$中，$EF// PC$。
已知$PA\perp$平面$ABC$，$PC\subset$平面$ABC$（这里应该是$BC\subset$平面$ABC$，$PC$在平面$PAC$等相关平面分析，本题因为$PA\perp$平面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，所以$PA\perp BC$，同时可推出$PA\perp PC$ ），所以$PA\perp PC$。
由于$EF// PC$，根据一条直线垂直于另一条直线，那么与这条直线平行的直线也垂直于另一条直线，可得$EF\perp PA$。
证明$EF\perp AB$
因为$PA\perp$平面$ABC$，$AB\subset$平面$ABC$，所以$PA\perp AB$。
已知$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，即$\triangle ABC$是等腰直角三角形，又$F$是$BC$中点，根据等腰三角形三线合一，可得$AF\perp BC$。
因为$PA\perp$平面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，所以$PA\perp BC$，又$PA\cap AF = A$，$PA,AF\subset$平面$PAF$，根据直线与平面垂直的判定定理，可得$BC\perp$平面$PAF$。
因为$PC$在平面$PAC$内等相关（重新梳理，因为$BC\perp$平面$PAF$，$AB\subset$平面$ABC$，且$EF// PC$，我们要证$EF\perp AB$，可先证$PC\perp AB$），$PA\perp AB$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，即$AB\perp AC$，$PA\cap AC = A$，$PA,AC\subset$平面$PAC$，所以$AB\perp$平面$PAC$，$PC\subset$平面$PAC$，所以$AB\perp PC$。
因为$EF// PC$，所以$EF\perp AB$。
综上，$EF\perp PA$且$EF\perp AB$。

例 4 如图，在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ E $，$ F $ 分别为 $ D _ { 1 } C _ { 1 } $，$ C _ { 1 } B _ { 1 } $ 的中点，$ A C \cap B D = P $，$ A _ { 1 } C _ { 1 } \cap E F = Q $。
（1）求证：$ D $，$ B $，$ F $，$ E $ 四点共面；
（2）若 $ A _ { 1 } C $ 交平面 $ B D E F $ 于点 $ R $，求证：$ P $，$ Q $，$ R $ 三点共线。

答案：
例4　[解答]
(1)如图，连接B₁D₁.由题意知EF是△D₁B₁C₁的中位线，所以EF//B₁D₁.在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁//BD，所以EF//BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(2)记A₁，C₁，C三点确定的平面为平面α，平面BDEF为平面β.因为Q∈A₁C₁，所以Q∈α.因为Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点.同理，P是α与β的公共点，所以α∩β=PQ.
　　
因为A₁C∩β=R，所以R∈A₁C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.