《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 1 (1)已知 $ F_1,F_2 $ 是椭圆和双曲线的公共焦点，记它们其中的一个交点为 $ P $，且 $ \angle F_1PF_2=\dfrac{2\pi}{3} $，则该椭圆离心率 $ e_1 $ 与双曲线离心率 $ e_2 $ 必定满足的关系式为 (C)

A.$ \dfrac{1}{4}e_1+\dfrac{3}{4}e_2=1 $
B.$ \dfrac{3}{4}e_1^2+\dfrac{1}{4}e_2^2=1 $
C.$ \dfrac{3}{4e_1^2}+\dfrac{1}{4e_2^2}=1 $
D.$ \dfrac{1}{4e_1^2}+\dfrac{3}{4e_2^2}=1 $

答案：

(1)C　[解析]不妨令焦点在x轴上，如图，设椭圆的长半轴长为a₁,双曲线的实半轴长为a₂,则根据椭圆及双曲线的定义得|PF₁|+|PF₂|=2a₁,|PF₁|−|PF₂|=2a₂,所以|PF₁|=a₁+a₂,|PF₂|=a₁−a₂.设|F₁F₂|=2c,∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$,则在△PF₁F₂中,由余弦定理得4c²=(a₁+a₂)²+(a₁−a₂)²−2(a₁+a₂)(a₁−a₂)cos$\frac{2π}{3}$,化简得3a₁²+a₂²=4c²,该式可化为$\frac{3}{4e₁²}$+$\frac{1}{4e₂²}$=1.

(2)已知 $ F_1,F_2 $ 为椭圆 $ C_1:\dfrac{x^2}{a_1^2}+\dfrac{y^2}{b_1^2}=1 $($ a_1＞b_1＞0 $)与双曲线 $ C_2:\dfrac{x^2}{a_2^2}-\dfrac{y^2}{b_2^2}=1 $($ a_2＞0,b_2＞0 $)的公共焦点，$ M $ 是它们的一个公共点，且 $ \angle F_1MF_2=\dfrac{\pi}{3} $，$ e_1,e_2 $ 分别为 $ C_1,C_2 $ 的离心率，则 $ e_1e_2 $ 的最小值为 (A)

A.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案：

(2)A　[解析]设椭圆C₁、双曲线C₂的共同半焦距为c,由椭圆、双曲线的对称性不妨令点M在第一象限,F₁(−c,0),F₂(c,0).由椭圆、双曲线定义知|MF₁|+|MF₂|=2a₁,且|MF₁|−|MF₂|=2a₂,则有|MF₁|=a₁+a₂,|MF₂|=a₁−a₂.在△F₁MF₂中,由余弦定理得|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²−2|MF₁||MF₂|cos∠F₁MF₂,即4c²=(a₁+a₂)²+(a₁−a₂)²−2(a₁+a₂)(a₁−a₂)cos$\frac{π}{3}$,整理得4c²=a₁²+3a₂²,于是得4=$\frac{a₁²}{c²}$+$\frac{3a₂²}{c²}$=$\frac{1}{e₁²}$+$\frac{3}{e₂²}$≥2$\sqrt{\frac{1}{e₁²}·\frac{3}{e₂²}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{e₁e₂}$,当且仅当$\frac{1}{e₁²}$=$\frac{3}{e₂²}$,即e₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,e₂=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时取等号,从而e₁e₂≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以e₁e₂的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

例 2 （1）已知椭圆 $ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 $，直线 $ l_1:x - y - 1 = 0 $，$ l_2:x - y + 1 = 0 $ 与该椭圆分别交于点 $ A,B $ 和 $ C,D $，则 $ |AB| + |CD| $ 的值为$\frac{48}{7}$ 。

答案： （1）$\frac{48}{7}$　[解析]由题知直线AB经过右焦点F₂,且倾斜角α=$\frac{π}{4}$,所以|AB|=$\frac{2ab²}{|a²−c²cos²α|}$=$\frac{2×2×3}{4−1×\frac{1}{2}}$=$\frac{24}{7}$.由椭圆的对称性知|AB|=|CD|,所以|AB|+|CD|=$\frac{48}{7}$.

（2）已知双曲线 $ C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $ 的左、右焦点分别为$\frac{\sqrt{17}}{3}$$ F_1,F_2 $，过 $ C $ 的右焦点 $ F_2 $ 的直线 $ l $ 与 $ C $ 的右支分别交于 $ A,B $ 两点，且 $ |AB| = 3|BF_2| $，$ 2|OB| = |F_1F_2| $（$ O $ 为坐标原点），则双曲线 $ C $ 的离心率为 。

答案： （2）$\frac{\sqrt{17}}{3}$　[解析]方法一:如图,连接AF₁,BF₁.因为2|OB|=|F₁F₂|,所以BF₁⊥BF₂.设|BF₂|=t,因为|AB|=3|BF₂|,所以|AF₂|=2t.因为$\frac{1}{2t}$+$\frac{1}{t}$=$\frac{2a}{b²}$,所以t=$\frac{3b²}{4a}$.由双曲线定义可得|BF₁|−|BF₂|=2a,又|BF₂|=$\frac{3b²}{4a}$,所以|BF₁|=2a+$\frac{3b²}{4a}$.由勾股定理可得|BF₁|²+|BF₂|²=|F₁F₂|²,即(2a+$\frac{3b²}{4a}$)²+($\frac{3b²}{4a}$)²=4c²,整理得(a²−c²)(17a²−9c²)=0,则17a²=9c²,所以C的离心率为$\frac{\sqrt{17}}{3}$.
方法二:由2|OB|=|F₁F₂|,知∠F₁BF₂=90°.设|BF₂|=t,则|AF₂|=2t,|BF₁|=2a+t,|AF₁|=2a+2t.在△BF₁F₂和△BF₁A中,由勾股定理得4c²=(2a+t)²+t²①,(2a+2t)²=(2a+t)²+(3t)²②,由②得t=$\frac{2a}{3}$,代入①得9c²=17a²,从而可得e=$\frac{\sqrt{17}}{3}$.
方法三:设B(x₀,y₀),则A(3c−2x₀,−2y₀),所以有x₀²+y₀²=c²,$\frac{x₀²}{a²}$−$\frac{y₀²}{b²}$=1,$\frac{(3c−2x₀)²}{a²}$−$\frac{4y₀²}{b²}$=1,可得x₀=$\frac{3c²+a²}{4c}$,所以$\frac{(3c²+a²)²}{16c²a²}$=1.由b²=c²−a²,则(3c²+a²)²=16a²(2c²−a²),即9c⁴−26a²c²+17a⁴=0,(9c²−17a²)(a²−c²)=0,所以9c²−17a²=0,从而e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$.