《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 1 - 1 （2025·临汾三模）已知正项数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，满足$a_{n + 1}^{2}+a_{n + 1}a_{n}-6a_{n}^{2}=0$.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）已知数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=\begin{cases}a_{n},n为偶数,\\\dfrac{2}{\log_{2}a_{n}·(\log_{2}a_{n}+2)},n为奇数,\end{cases}$求数列$\{ b_{n}\}$的前$2n$项和$T_{2n}$.例1-1【解答】(1)由$a_{n+1}^{2}+a_{n+1}a_{n}-6a_{n}^{2}=0$，得$(a_{n+1}-2a_{n})· (a_{n+1}+3a_{n})=0$.因为$a_{n}＞0$，所以$a_{n+1}+3a_{n}＞0$，则$a_{n+1}=2a_{n}$，所以$\{a_{n}\}$是以2为首项，2为公比的等比数列，所以$a_{n}=2^{n}$.
(2)由(1)知$b_{n}=\begin{cases} 2^{n},n为偶数,\\ \frac{1}{n}-\frac{1}{n+2},n为奇数,\end{cases}$则$T_{2n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+·s +b_{2n-1}+b_{2n}=b_{1}+b_{3}+·s +b_{2n-1}+b_{2}+b_{4}+·s +b_{2n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+·s +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}+2^{2}+2^{4}+·s +2^{2n}=1-\frac{1}{2n+1}+\frac{2^{2}-2^{2n}× 4}{1-4}=\frac{2^{2n+1}-4}{3}+\frac{2n}{2n+1}.$

答案： 例1-1【解答】
(1)由$a_{n+1}^{2}+a_{n+1}a_{n}-6a_{n}^{2}=0$，得$(a_{n+1}-2a_{n})· (a_{n+1}+3a_{n})=0$.因为$a_{n}＞0$，所以$a_{n+1}+3a_{n}＞0$，则$a_{n+1}=2a_{n}$，所以$\{a_{n}\}$是以2为首项，2为公比的等比数列，所以$a_{n}=2^{n}$.
(2)由
(1)知$b_{n}=\begin{cases} 2^{n},n为偶数,\\ \frac{1}{n}-\frac{1}{n+2},n为奇数,\end{cases}$则$T_{2n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+·s +b_{2n-1}+b_{2n}=b_{1}+b_{3}+·s +b_{2n-1}+b_{2}+b_{4}+·s +b_{2n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+·s +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}+2^{2}+2^{4}+·s +2^{2n}=1-\frac{1}{2n+1}+\frac{2^{2}-2^{2n}× 4}{1-4}=\frac{2^{2n+1}-4}{3}+\frac{2n}{2n+1}$.

例 1 - 2 （2025·嘉兴三模）记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{n}＞0$，$4S_{n}=a_{n}^{2}+2a_{n}-3$，数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=\begin{cases}a_{n}-a_{n + 1},n为奇数,\\a_{n}+a_{n + 1},n为偶数.\end{cases}$
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）记数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，若对任意$n\in\mathbf{N}^{*}$，$T_{n}\geqslant10n+\lambda$，求实数$\lambda$的取值范围.

答案： 例1-2【解答】
(1)当$n=1$时，$a_{1}=S_{1}=\frac{a_{1}^{2}+2a_{1}-3}{4}$，解得$a_{1}=-1$或$a_{1}=3$.因为$a_{n}＞0$，所以$a_{1}=3$.当$n\geq 2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{a_{n}^{2}+2a_{n}-3}{4}-\frac{a_{n-1}^{2}+2a_{n-1}-3}{4}$，得$(a_{n}+a_{n-1})(a_{n}-a_{n-1}-2)=0$，因为$a_{n}+a_{n-1}＞0$，所以$a_{n}-a_{n-1}=2$.又$a_{1}=3$，故数列$\{a_{n}\}$是首项为3，公差为2的等差数列，所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2n+1$.
(2)由$b_{n}=\begin{cases} a_{n}-a_{n+1},n为奇数,\\ a_{n}+a_{n+1},n为偶数,\end{cases}$得$b_{n}=\begin{cases} -2,n为奇数,\\ 4n+4,n为偶数.\end{cases}$当$n$为偶数时，$T_{n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+·s +b_{n-1}+b_{n}=(b_{1}+b_{3}+·s +b_{n-3}+b_{n-1})+(b_{2}+b_{4}+·s +b_{n-2}+b_{n})=[-2+(-2)+·s +(-2)+(-2)]+[12+20+·s +(4n-4)+(4n+4)]=(-2)× \frac{(12 + 4n + 4)× \frac{n}{2}}{2}=n^{2}+3n$；当$n$为奇数时，$T_{n}=T_{n+1}-b_{n+1}=(n + 1)^{2}+3(n + 1)-[4(n + 1)+4]=n^{2}+n - 4$.所以$T_{n}=\begin{cases} n^{2}+n - 4,n为奇数,\\ n^{2}+3n,n为偶数.\end{cases}$
因为对任意的$n\in N^{*}$，$T_{n}\geq 10n+\lambda$，
所以当$n$为奇数时，$n^{2}+n - 4\geq 10n+\lambda$，所以$\lambda\leq n^{2}-9n - 4$，不等号的右边可看作关于$n$的二次函数，函数图象的对称轴为直线$n = 4.5$，因为$n$为奇数，所以$n = 5$时，$(n^{2}-9n - 4)_{min}=-24$，则$\lambda\leq -24$.当$n$为偶数时，$n^{2}+3n\geq 10n+\lambda$，所以$\lambda\leq n^{2}-7n$，同理可得，$n = 4$时，$(n^{2}-7n)_{min}=-12$，则$\lambda\leq -12$.综上，$\lambda\leq -24$，即实数$\lambda$的取值范围是$(-\infty,-24]$.