《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 2 （2025·河南五市联考）已知 a，b，c 分别为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，且 b sin A - √{3} a cos B = 0.
（1）求角 B 的大小；
（2）若 b = 2，求△ABC 面积的最大值.

答案：
(1)因为$b\sin A - \sqrt{3}a\cos B = 0$，所以由正弦定理可得$\sin B\sin A - \sqrt{3}\sin A\cos B = 0$。因为$A \in (0,\pi)$，所以$\sin A \neq 0$，所以$\sin B - \sqrt{3}\cos B = 0$，所以$\tan B = \sqrt{3}$。又因为$B \in (0,\pi)$，所以$B = \frac{\pi}{3}$。
(2)方法一：在$\triangle ABC$中，由余弦定理得$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$，即$4 = a^{2} + c^{2} - ac \geq 2ac - ac = ac$，当且仅当$a = c = 2$时取等号，所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ac\sin B \leq \frac{1}{2} × 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。故$\triangle ABC$面积的最大值为$\sqrt{3}$。
方法二：由正弦定理得$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，所以$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\sin A$，$c = \frac{4\sqrt{3}}{3}\sin C$，则$\triangle ABC$的面积$S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2} × \frac{4\sqrt{3}}{3}\sin A × \frac{4\sqrt{3}}{3}\sin C × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\sin A\sin C = \frac{4\sqrt{3}}{3}\sin A\sin(\frac{2\pi}{3} - A) = \frac{\sqrt{3}}{3}(\sqrt{3}\sin A\cos A + \sin^{2}A) = \frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2A - \frac{1}{2}\cos2A + \frac{1}{2}) = \frac{2\sqrt{3}}{3}[\sin(2A - \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{2}]$。因为$B = \frac{\pi}{3}$，所以$0 ＜ A ＜ \frac{2\pi}{3}$，所以$- \frac{\pi}{6} ＜ 2A - \frac{\pi}{6} ＜ \frac{7\pi}{6}$，所以当$2A - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$，即$A = \frac{\pi}{3}$时，$S$取得最大值，所以$S \leq \frac{2\sqrt{3}}{3} × \frac{3}{2} = \sqrt{3}$，故$\triangle ABC$面积的最大值为$\sqrt{3}$。

变式 2 （2025·萍乡一模）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 c sin A = a cos C.
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c = 2，求△ABC 面积的最大值.

答案：
(1)由正弦定理得$\sin C\sin A = \sin A\cos C$。因为$0 ＜ \sin A \leq 1$，所以$\sin C = \cos C$，即$\tan C = 1$。又$0 ＜ C ＜ \pi$，故$C = \frac{\pi}{4}$。
(2)由余弦定理得$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$，所以$4 = a^{2} + b^{2} - \sqrt{2}ab \geq 2ab - \sqrt{2}ab = (2 - \sqrt{2})ab$，所以$ab \leq \frac{4}{2 - \sqrt{2}} = 4 + 2\sqrt{2}$，当且仅当$a = b = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$时等号成立，故$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C \leq \frac{1}{2} × (4 + 2\sqrt{2}) × \sin\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} + 1$，即$\triangle ABC$面积的最大值为$\sqrt{2} + 1$。