《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1} + a_{n} = 2n - 3$，若$a_{1} = 2$，则$a_{8} - a_{4} =$(D)

A.7
B.6
C.5
D.4

答案： 1.D【解析】由题意得$(a_{n+2}+a_{n+1})-(a_{n+1}+a_n)=[2(n+1)-3]-(2n-3)$，即$a_{n+2}-a_n=2$，所以$a_8-a_4=(a_8-a_6)+(a_6-a_4)=2+2=4$。

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = 2a_{n} - 1$，那么满足$\frac{a_{n}}{n} \leq 2$的正整数$n$的集合为(B)

A.$\{ 1,2\}$
B.$\{ 1,2,3,4\}$
C.$\{ 1,2,3\}$
D.$\{ 1,2,4\}$

答案： 2.B【解析】因为$S_n=2a_n-1$，所以当$n\geq2$时，$S_{n-1}=2a_{n-1}-1$，两式相减得$a_n=2a_n-2a_{n-1}$，整理得$a_n=2a_{n-1}$。又因为$a_1=2a_1-1$，即$a_1=1$，所以数列$\{a_n\}$是首项为1，公比为2的等比数列，故$a_n=2^{n-1}$。由$\frac{a_n}{n}\leq2$，得$2^{n-1}\leq2n$，故所有满足条件的正整数$n=1,2,3,4$。

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{n} = 2a_{n} - 2^{n}$，则$S_{n} =$n·2^n.

答案： 3.$n·2^n$【解析】$S_n=2a_n-2^n=2(S_n-S_{n-1})-2^n$，整理得$S_n-2S_{n-1}=2^n$，等式两边同时除以$2^n$，得$\frac{S_n}{2^n}-\frac{S_{n-1}}{2^{n-1}}=1$。又$S_1=2a_1-2=a_1$，即$a_1=S_1=2$，所以数列$\{\frac{S_n}{2^n}\}$是以1为首项，1为公差的等差数列，所以$\frac{S_n}{2^n}=n$，所以$S_n=n·2^n$。

4.(人 A 选必二 P41 习题 T8)若数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1} = 1$，且满足$a_{n + 1} = 2a_{n} + 1$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为a_n=2^n-1，前 10 项和为2036.

答案： 4.$a_n=2^n-1\quad2036$【解析】因为$a_{n+1}=2a_n+1$，所以$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，所以$\{a_n+1\}$是首项为2，公比为2的等比数列，所以$a_n+1=2×2^{n-1}=2^n$，即$a_n=2^n-1$，所以$S_{10}=a_1+a_2+·s+a_{10}=2+2^2+·s+2^{10}-10=\frac{2×(1-2^{10})}{1-2}-10=2036$。

例 1 (1)(2024·全国甲卷理节选)记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$4S_{n} = 3a_{n} + 4$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为a_n=4·(-3)^{n-1}.

答案： 例1
(1)$a_n=4·(-3)^{n-1}$【解析】当$n=1$时，$4S_1=4a_1=3a_1+4$，解得$a_1=4$。当$n\geq2$时，$4S_{n-1}=3a_{n-1}+4$，所以$4S_n-4S_{n-1}=4a_n=3a_n-3a_{n-1}$，即$a_n=-3a_{n-1}$，而$a_1=4\neq0$，$a_n\neq0$，则$\frac{a_n}{a_{n-1}}=-3$，故数列$\{a_n\}$是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以$a_n=4·(-3)^{n-1}$。

(2)设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项之积为$T_{n}$，且满足$a_{n} + 2T_{n} = 1(n \in \mathbf{N}^{*})$，则$T_{n} =$\frac{1}{2n+1}.

答案： 例1
(2)$\frac{1}{2n+1}$【解析】因为$a_n+2T_n=1(n\in N^*)$，所以$\frac{T_n}{T_{n-1}}+\frac{1}{T_n}+2T_n=1(n\geq2,n\in N^*)$，所以$T_n+2T_nT_{n-1}=T_{n-1}$，所以$\frac{1}{T_{n-1}}-\frac{1}{T_n}=2$，所以$\{\frac{1}{T_n}\}$是公差为2的等差数列。因为$a_1+2T_1=1$，即$3a_1=1$，所以$a_1=T_1=\frac{1}{3}$，所以$\frac{1}{T_n}=3+(n-1)×2=2n+1$，即$T_n=\frac{1}{2n+1}$。

(3)(2025·秦皇岛三模)已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，数列$\{ b_{n}\}$是首项为 1，公差为 1 的等差数列，若$1 + \frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{2}}{b_{2}} + ·s + \frac{a_{n}}{b_{n}} = 2^{n}(n \in \mathbf{N}^{*})$，则$S_{10} =$9217.

答案： 例1
(3)9217【解析】因为$\{b_n\}$是首项为1，公差为1的等差数列，所以$b_n=1+(n-1)×1=n$。因为$n\geq2$时，$1+\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+·s+\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}=2^{n-1}$，所以$\frac{a_n}{b_n}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}(n\geq2)$，故$a_n=b_n2^{n-1}=n·2^{n-1}(n\geq2)$。又$1+\frac{a_1}{b_1}=1+\frac{a_1}{1}=2$，所以$a_1=1$，符合上式，所以$a_n=n·2^{n-1}$。$S_{10}=1×2^0+2×2^1+·s+10×2^9$，则$2S_{10}=1×2^1+2×2^2+·s+10×2^{10}$，两式相减得$-S_{10}=2^0+2^1+·s+2^9-10×2^{10}=\frac{1-2^{10}}{1-2}-10×2^{10}=-1-9×2^{10}$，故$S_{10}=1+9×2^{10}=9217$。