《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式2 （2025·合肥二模）已知$\{ a_{n}\}$是等差数列，$\{ b_{n}\}$是等比数列，且$a_{1} = b_{1} = 3$，$a_{2} + a_{4} = 2b_{2}$，$a_{1}a_{3} = b_{3}$。
（1）求数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的通项公式；
（2）求数列$\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$的前$n$项和。

答案： 变式2 【解答】
(1)设$\{a_n\}$的公差为$d$，$\{b_n\}$的公比为$q(q\neq0)$.由$a_2+a_4=2b_2$，得$2a_1+4d=2b_1q$，则$6+4d=6q$.由$a_1a_3=b_3$，得$3(3+2d)=3q^2$.联立$\begin{cases}6+4d=6q,\\3(3+2d)=3q^2,\end{cases}$解得$\begin{cases}d=3,\\q=3\end{cases}$或$\begin{cases}d=-\frac{3}{2},\\q=0\end{cases}$(舍去).故$a_n=3+3(n-1)=3n$，$b_n=3·3^{n-1}=3^n$.
(2)由
(1)知$\frac{a_n}{b_n}=\frac{3n}{3^n}=\frac{n}{3^{n-1}}$，设数列$\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}$的前$n$项和为$S_n$，则$S_n=\frac{1}{3^0}+\frac{2}{3^1}+\frac{3}{3^2}+·s+\frac{n}{3^{n-1}}$①，$\frac{1}{3}S_n=\frac{1}{3^1}+\frac{2}{3^2}+·s+\frac{n}{3^n}$②.①-②得$\frac{2}{3}S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+·s+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{3^n}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)-\frac{n}{3^n}=\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{2×3^n}$，所以$S_n=\frac{9}{4}-\frac{2n+3}{4×3^{n-1}}$.

例3 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1} = 2$，$(n - 2)S_{n + 1} + 2a_{n + 1} = nS_{n}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$。
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + ·s + \frac{1}{a_{n}^{2}} ＜ \frac{7}{16}$。

答案： 例3 【解答】
(1)由$(n - 2)S_{n + 1} + 2a_{n + 1} = nS_{n}$，得$(n - 2)(S_n + a_{n + 1}) + 2a_{n + 1} = nS_n$，化简得$(n - 2)S_n + (n - 2)a_{n + 1} + 2a_{n + 1} = nS_n$，即$(n - 2)S_n + na_{n + 1} = nS_n$，所以$na_{n + 1} = 2S_n$，即$S_n = \frac{n}{2}a_{n + 1}$.当$n \geq 2$时，$S_{n - 1} = \frac{n - 1}{2}a_n$，两式相减得$a_n = \frac{n}{2}a_{n + 1} - \frac{n - 1}{2}a_n$，整理得$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n + 1}{n}$.又$a_1 = 2$，当$n = 1$时，$S_1 = \frac{1}{2}a_2$，即$a_2 = 2a_1 = 4$，所以$a_n = a_2 · \frac{a_3}{a_2} · \frac{a_4}{a_3} ·s \frac{a_n}{a_{n - 1}} = 4 · \frac{3}{2} · \frac{4}{3} ·s \frac{n}{n - 1} = 2n$，当$n = 1$时，$a_1 = 2$也满足，故$a_n = 2n$.
(2)由
(1)知$\frac{1}{a_n^2} = \frac{1}{4n^2}$.当$n = 1$时，$\frac{1}{a_1^2} = \frac{1}{4} ＜ \frac{7}{16}$；当$n = 2$时，$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} ＜ \frac{7}{16}$；当$n \geq 3$时，$\frac{1}{n^2} ＜ \frac{1}{(n - 1)n} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$，所以$\frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + ·s + \frac{1}{a_n^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{3^2} + ·s + \frac{1}{n^2}\right) ＜ \frac{5}{16} + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2 × 3} + ·s + \frac{1}{(n - 1)n}\right) = \frac{5}{16} + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n}\right) = \frac{5}{16} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4n} = \frac{7}{16} - \frac{1}{4n} ＜ \frac{7}{16}$.综上，$\frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + ·s + \frac{1}{a_n^2} ＜ \frac{7}{16}$.