《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式 2 - 1 （2025·龙岩 5 月质检）某项科研活动共进行了 5 次试验，其数据如下表所示：

（1）根据表中的数据，计算样本相关系数 $ r $；
（2）求 $ y $ 关于 $ x $ 的经验回归方程，并预测当 $ x $ 为 12 时 $ y $ 的值。
附：$ \sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}} = 5\sqrt{2} $，$ \sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\overline{y})^{2}} = 4 $，$ \sqrt{2} \approx 1.414 $。参考公式见基础回归。

答案： 变式2 - 1　[解答]
(1)由题意得$\bar{x}=\frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}x_i=\frac{35}{5}=7$，$\bar{y}=\frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}y_i = 9$，$\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 2×12 + 5×10 + 8×8 + 9×8 + 11×7 - 5×7×9 = - 28$，$\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})^2 = 50$，$\sum_{i = 1}^{5}(y_i - \bar{y})^2 = 16$，故样本相关系数$r=\frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(y_i - \bar{y})^2}}=\frac{-28}{\sqrt{50×16}}=\frac{-7}{5\sqrt{2}}\approx - 0.99$。
(2)由
(1)知$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})^2}=\frac{-28}{50}= - 0.56$，所以$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=9 - (-0.56)×7 = 12.92$，所以经验回归方程是$\hat{y} = - 0.56x + 12.92$。当$x$为12时，可预测$\hat{y} = - 0.56×12 + 12.92 = 6.2$。

例 2 - 2 （2025·宁波模拟）某企业前 8 个月月底的盈利金额 $ y $（单位：万元）与月份 $ x $ 之间的关系如下表所示：

（1）用 $ y = e^{bx + a} $ 模拟 $ y $ 与 $ x $ 的关系，求出回归方程；
（2）根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过 60 万元？10
附：① $ \overline{y} = 12.1 $，$ \overline{\ln y} = 2.1 $，$ \sum_{i = 1}^{8}x_{i}y_{i} = 613.7 $，$ \sum_{i = 1}^{8}x_{i}\ln y_{i} = 92.4 $，$ \sum_{i = 1}^{8}x_{i}^{2} = 204 $；② $ \ln 2 \approx 0.69 $，$ \ln 3 \approx 1.10 $，$ \ln 5 \approx 1.61 $。

答案： 例2 - 2　[解答]
(1)令$z = \ln y$，则$z = bx+\hat{a}$，$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{8}x_iz_i - 8\bar{x}\bar{z}}{\sum_{i = 1}^{8}x_i^2 - 8\bar{x}^2}=\frac{92.4 - 8×4.5×2.1}{204 - 8×4.5^2}=0.4$，$\hat{a}=\bar{z}-\hat{b}\bar{x}=2.1 - 0.4×4.5 = 0.3$，故$y = e^{0.4x + 0.3}$。
(2)令$y = e^{0.4x + 0.3}=60$，则$x=\frac{\ln60 - 0.3}{0.4}=\frac{\ln5 + 2\ln3 + \ln2 - 0.3}{0.4}\approx9.475$，故在10月月底统计的盈利金额开始超过60万元。