《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式3 （2025·北京石景山期末）某城市有甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区。为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：
单位：个

（1）从甲、乙两个区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率；
（2）从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设$\xi$表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求$\xi$的分布列和数学期望；
（3）城市管理部门计划按照分层随机抽样的方式从甲、乙两个区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设$X$为“绿化达标”居民小区的数量，$Y$为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差$D(X)$，$D(Y)$的大小。

答案：
变式3【解答】
(1)设事件$A=$“抽到的是甲区且绿化达标”，因为甲、乙两个区共有$500+300=800$个居民小区，甲区且绿化达标的居民小区共有300个，则$P(A)=\frac{300}{800}=\frac{3}{8}$，所以抽到的是“甲区且绿化达标”的概率为$\frac{3}{8}$．
(2)由题意，$\xi$的所有可能的取值为$0,1,2$．从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为$\frac{250}{500}=\frac{1}{2}$，从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为$\frac{150}{300}=\frac{1}{2}$，则$P(\xi=0)=C_2^0×(1-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$P(\xi=1)=C_2^1×\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$，$P(\xi=2)=C_2^2×(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以$\xi$的分布列为

所以$E(\xi)=0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{4}=1$．
(3)因为甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区，共800个，所以从甲区里抽取$40×\frac{500}{800}=25$个小区，从乙区里抽取$40×\frac{300}{800}=15$个小区，由表格可知：从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为$\frac{300}{500}=\frac{3}{5}$，从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为$\frac{180}{300}=\frac{3}{5}$，因此，随机变量$X\sim B(40,\frac{3}{5})$，则$D(X)=40×\frac{3}{5}×(1-\frac{3}{5})=\frac{48}{5}$．由表格可知：从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为$\frac{200}{500}=\frac{2}{5}$，从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为$\frac{120}{300}=\frac{2}{5}$，因此，随机变量$Y\sim B(40,\frac{2}{5})$，则$D(Y)=40×\frac{2}{5}×(1-\frac{2}{5})=\frac{48}{5}$．综上，$D(X)=D(Y)$．

例4 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额。
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元。
①求顾客所获得的奖励额为60元的概率；
②求顾客所获得的奖励额的分布列及数学期望。
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成。为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由。

答案：
例4【解答】
(1)设顾客所获得的奖励额为$X$．
①$P(X=60)=\frac{C_4^1· C_3^1}{C_4^2}=\frac{1}{2}$，即顾客所获得的奖励额为60元的概率为$\frac{1}{2}$．
②依题意得$X$的所有可能取值为$20,60$，则$P(X=60)=\frac{1}{2}$，$P(X=20)=\frac{C_3^2}{C_4^2}=\frac{1}{2}$，即$X$的分布列为

所以$E(X)=20×\frac{1}{2}+60×\frac{1}{2}=40$（元）．
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择$(10,10,10,50)$的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择$(50,50,50,10)$的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是$(10,10,50,50)$，记为方案1．对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除$(20,20,20,40)$和$(40,40,40,20)$的方案，所以可能的方案是$(20,20,40,40)$，记为方案2．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案$(10,10,50,50)$，设顾客所获得的奖励额为$X_1$，则$X_1$的分布列为

故$E(X_1)=20×\frac{1}{6}+60×\frac{2}{3}+100×\frac{1}{6}=60$，$D(X_1)=(20-60)^2×\frac{1}{6}+(60-60)^2×\frac{2}{3}+(100-60)^2×\frac{1}{6}=\frac{1600}{3}$．对于方案2，即方案$(20,20,40,40)$，设顾客所获得的奖励额为$X_2$，则$X_2$的分布列为

故$E(X_2)=40×\frac{1}{6}+60×\frac{2}{3}+80×\frac{1}{6}=60$，$D(X_2)=(40-60)^2×\frac{1}{6}+(60-60)^2×\frac{2}{3}+(80-60)^2×\frac{1}{6}=\frac{400}{3}$．由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1
的小，所以应该选择方案2，即面值为$(20,20,40,40)$．