《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 1 - 2 已知$\triangle ABC$的内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，且满足$2\cos A\cos B=2\sin^{2}\frac{C}{2}$.
（1）试判断$\triangle ABC$的形状；
（2）若$\triangle ABC$外接圆的半径为 2，求$\triangle ABC$周长的最大值.

答案： 例1−2【解答】
(1)由题意可知$2\cos A\cos B=2\sin^{2}\frac{C}{2}=1-\cos C=1+\cos(A+B)=1+\cos A\cos B-\sin A\sin B$，整理得$\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A - B)=1$，而$A,B\in(0,\pi)$，则$A - B\in(-\pi,\pi)$，可知$A - B=0$，即$A=B$，所以$\triangle ABC$为等腰三角形.
(2)由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=4$，可得$a=4\sin A$，$b=4\sin B$，$c=4\sin C$，则$\triangle ABC$的周长$L=a + b + c=4\sin A+4\sin B+4\sin C=4\sin A+4\sin B+4\sin(A + B)$.由
(1)可知$A=B\in(0,\frac{\pi}{2})$，可得$L=4\sin A+4\sin A+4\sin2A=8\sin A+4\sin2A$.构建函数$f(x)=8\sin x+4\sin2x$，$x\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f'(x)=8\cos x+8\cos2x=8(\cos x + 1)(2\cos x - 1)$.令$f'(x)=0$，得$\cos x=-1$(舍去)或$\cos x=\frac{1}{2}$，此时$x=\frac{\pi}{3}$.当$x\in(0,\frac{\pi}{3})$时，$\cos x\in(\frac{1}{2},1)$，则$f'(x)＞0$；当$x\in(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$时，$\cos x\in(0,\frac{1}{2})$，则$f'(x)＜0$.可知$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$上单调递增，在$(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$上单调递减，则$f(x)\leq f(\frac{\pi}{3})=6\sqrt{3}$.所以当且仅当$\triangle ABC$为等边三角形时，$\triangle ABC$的周长取到最大值$6\sqrt{3}$.

变式 1 （2025·临沂 2 月模考）已知$a,b,c$分别为$\triangle ABC$的三个内角$A,B,C$的对边，且$\sqrt{3}a\cos C + c\sin A-\sqrt{3}b = 0$.
（1）求$A$；
（2）若$c = 3$，$a\sin B = 2\sqrt{3}$，求$a$.

答案： 变式1【解答】
(1)由正弦定理边化角可得$\sqrt{3}\sin A\cos C+\sin C\sin A-\sqrt{3}\sin B=0$，即$\sqrt{3}\sin A\cos C+\sin C\sin A=\sqrt{3}\sin B=\sqrt{3}\sin(A + C)=\sqrt{3}\sin A\cos C+\sqrt{3}\cos A\sin C$，所以$\sin C\sin A=\sqrt{3}\cos A\sin C$.又因为$\sin C＞0$，所以$\sin A=\sqrt{3}\cos A$，所以$\tan A=\sqrt{3}$.又$A\in(0,\pi)$，所以$A=\frac{\pi}{3}$.
(2)若$c=3$，$a\sin B=2\sqrt{3}$，则$a\sin B=2R\sin A\sin B=b\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}b=2\sqrt{3}$，其中$R$是$\triangle ABC$外接圆的半径，解得$b=4$.由余弦定理可得$a=\sqrt{b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}=\sqrt{4^{2}+3^{2}-2×4×3×\frac{1}{2}}=\sqrt{13}$.