《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 2 - 2 如图，已知三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ E $ 是 $ BC $ 上的动点，$ D $ 是 $ AA_1 $ 上的动点，且 $ \frac { A D } { D A _ { 1 } } = m $，$ A E // $ 平面 $ D B _ { 1 } C $。
（1）若 $ E $ 是 $ BC $ 的中点，求 $ m $ 的值；
（2）若 $ E $ 是 $ BC $ 上靠近 $ B $ 的三等分点，求 $ m $ 的值。

答案：
例2 - 2　[解答]
(1)如图
(1)，设平面ADE与直线B₁C相交于点G，连接DG，GE.因为AE//平面DB₁C，AE⊂平面ADE，平面ADE∩平面DB₁C=DG，所以AE//DG.因为AD//BB₁，AD⊄平面CBB₁C₁，BB₁⊂平面CBB₁C₁，所以AD//平面CBB₁C₁.又AD⊂平面ADE，平面ADE∩平面CBB₁C₁=EG，所以AD//EG，所以四边形DAEG是平行四边形，故DA=GE=$\frac{1}{2}$BB₁，所以D是AA₁的中点，即AD=DA₁，$\frac{AD}{DA_{1}}=1$，故m=1.
(2)如图
(2)，设平面ADE与直线B₁C相交于点H，连接DH，HE.因为AE//平面DB₁C，AE⊂平面ADE，平面ADE∩平面DB₁C=DH，所以AE//DH.因为AD//BB₁，AD⊄平面CBB₁C₁，BB₁⊂平面CBB₁C₁，所以AD//平面CBB₁C₁.又AD⊂平面ADE，平面ADE∩平面CBB₁C₁=EH，所以AD//EH，所以四边形DAEH是平行四边形，则AD=EH，且EH//BB₁，所以$\frac{EH}{BB_{1}}=\frac{CE}{CB}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{AD}{AA_{1}}=\frac{EH}{BB_{1}}=\frac{2}{3}$，则$\frac{AD}{DA_{1}}=2$，即m=2.
　　

例 3 - 1 （2025·武汉一模节选）如图，在四面体 $ ABCD $ 中，$ AB = BD = 2 $，$ \angle A C B = 60 ^ { \circ } $，$ A D \perp C D $，$ A D = C D $，$ \angle A D B = \angle C D B $，$ E $ 为 $ A C $ 的中点。
（1）求证：平面 $ B E D \perp $ 平面 $ A C D $；
（2）求证：$ D E \perp $ 平面 $ A B C $。

答案： 例3 - 1　　[解答]
(1)在△ABD和△CBD中，AD=CD，∠ADB=∠CDB，DB=DB，所以△ABD≌△CBD(SAS)，所以BA=BC.又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE.因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE.又BE∩DE=E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
(2)因为AB=BD=2，AB=BC，∠ACB=60°，所以△ABC为等边三角形且边长为2，可得BE=$\sqrt{3}$.因为DA=DC，∠ADC=90°，所以DE=1.因为DE²+BE²=4=BD²，所以DE⊥BE.又因为DE⊥AC，BE∩AC=E，BE，AC⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.