《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 3 已知数列$\{ a_{n}\}$是各项均为正数的数列，前$n$项和记为$S_{n}$，$S_{n}=\dfrac{a_{n}^{2}+a_{n}-2}{2}(n\in\mathbf{N}^{*})$.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）设$b_{n}=(-1)^{n}a_{n}^{2}$，$n\in\mathbf{N}^{*}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 例3【解答】
(1)由题意得$2S_{n}=a_{n}^{2}+a_{n}-2$①，且$a_{n}＞0$.当$n = 1$时，$2S_{1}=a_{1}^{2}+a_{1}-2$，解得$a_{1}=2$或$a_{1}=-1$(舍去).当$n\geq 2$时，$2S_{n-1}=a_{n-1}^{2}+a_{n-1}-2$②，① - ②得$2S_{n}-2S_{n-1}=a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}+a_{n}-a_{n-1}=2a_{n}$，所以$(a_{n}+a_{n-1})(a_{n}-a_{n-1}-1)=0$.因为$a_{n}＞0$，所以$a_{n}+a_{n-1}＞0$，所以$a_{n}-a_{n-1}=1(n\geq 2,n\in N^{*})$，所以数列$\{a_{n}\}$是首项为2，公差为1的等差数列，所以$a_{n}=2+(n - 1)× 1=n + 1$.所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n + 1$.
(2)由
(1)得$b_{n}=(-1)^{n}(n + 1)^{2}$，则当$n\geq 2$，且$n\in N^{*}$时，$b_{n-1}+b_{n}=(-1)^{n - 1}n^{2}+(-1)^{n}(n + 1)^{2}=(-1)^{n}[(n + 1)^{2}-n^{2}]=(-1)^{n}(2n + 1)$.当$n$为偶数时，$T_{n}=(b_{1}+b_{2})+(b_{3}+b_{4})+·s +(b_{n-1}+b_{n})=(-2)+(5 + 9+·s +(2n + 1))=\frac{n}{2}× \frac{(5 + 2n + 1)}{2}=\frac{n(n + 3)}{2}$；当$n$为奇数时，$n + 1$为偶数，由上式可知$T_{n + 1}=\frac{(n + 1)(n + 4)}{2}$.
所以$T_{n}=T_{n + 1}-b_{n + 1}=\frac{(n + 1)(n + 4)}{2}-(n + 2)^{2}=\frac{n^{2}+3n + 4}{2},n为奇数$.
综上，$T_{n}=\begin{cases} \frac{n^{2}+3n + 4}{2},n为奇数,\\ \frac{n(n + 3)}{2},n为偶数.\end{cases}$

例 4 已知数列$\{ a_{n}\}$是公差不为$0$的等差数列，$a_{2}=3$，且$a_{3}$，$a_{5}$，$a_{8}$成等比数列.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）设$b_{n}=a_{n}\cos\dfrac{\pi a_{n}}{2}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前$2025$项和.

答案： 例4【解答】
(1)设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d(d\neq 0)，$由题意可知$\begin{cases}a_{1}+d=3,\\a_{1}^{2}=a_{1}a_{8}.\end{cases}$即\begin{cases}a_{1}+d=3,\a_{1}+4d)^{2}=(a_{1}+2d)(a_{1}+7d).\end{cases}解得
$\begin{cases}a_{1}=2,\\d=1,\end{cases}$所以$a_{n}=n + 1.$
(2)由
(1)可知$b_{n}=a_{n}\cos\frac{n\pi}{2}=(n + 1)\cos\frac{(n + 1)\pi}{2}.$对于任意的$k\in N^{*}，$有$b_{4k - 3}=-4k + 2,b_{4k - 2}=0,b_{4k - 1}=4k,b_{4k}=0，$所以$b_{4k - 3}+b_{4k - 2}+b_{4k - 1}+b_{4k}=2，$故数列$\{b_{n}\}$的前2025项和为$(b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4})+(b_{5}+b_{6}+b_{7}+b_{8})+·s +(b_{2021}+b_{2022}+b_{2023}+b_{2024})+b_{2025}=506× 2 - 2026=-1014.$