《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 1 (2025·太原一模)已知函数 $ f(x)=2\sin(\omega x+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\pi) $ 的部分图象如图所示,点 $ A(0,-1),B(x_0,1) $ 在曲线 $ y = f(x) $ 上,若 $ |AB|=\sqrt{13} $,则 (ABD)

A.$ \varphi = -\frac{\pi}{6} $
B.$ f(x) $ 的图象关于点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 对称
C.$ f(x) $ 在 $[7,11]$ 上单调递减
D.将 $ f(x) $ 图象每个点的横坐标变为原来的 $\frac{\pi}{t}(t\gt0)$ 倍后,若 $ f(x) $ 在 $(0,2\pi)$ 上有且仅有 2 个极值点,则 $ t\in\left(\frac{5}{2},4\right] $

答案： 例 1 ABD[解析]对于A，由$f(0) = - 1$，得$\sin\varphi = - \frac{1}{2}$，而$|\varphi| ＜ \pi$，$x = 0$在$f(x)$的单调递增区间上，则$\varphi = - \frac{\pi}{6}$，故A正确。对于B，依题意，$x_0 ＞ 0$，$|AB| = \sqrt{2^2 + x_0^2} = \sqrt{13}$，解得$x_0 = 3$，函数$f(x)$的周期$T = 2(x_0 - 0) = 6 = \frac{2\pi}{\omega}$，解得$\omega = \frac{\pi}{3}$，$f(x) = 2\sin\left( \frac{\pi}{3}x - \frac{\pi}{6} \right)$，则$f\left( \frac{1}{2} \right) = 2\sin\left( \frac{\pi}{3} × \frac{1}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = 0$，所以$f(x)$的图象关于点$\left( \frac{1}{2},0 \right)$对称，故B正确。对于C，当$x \in [7,11]$时，$\frac{\pi}{3}x - \frac{\pi}{6} \in \left[ \frac{13\pi}{6},\frac{7\pi}{2} \right]$，当$\frac{\pi}{3}x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}$，即$x = 8$时，$f(x)$取得最大值2，因此$f(x)$在$[7,11]$上不单调，故C错误。对于D，将$f(x)$图象上每个点的横坐标变为原来的$\frac{\pi}{3}(t ＞ 0)$倍后得到$y = 2\sin\left( \frac{t}{3}x - \frac{\pi}{6} \right)$的图象，当$x \in (0,2\pi)$时，$\frac{t}{3}x - \frac{\pi}{6} \in \left( - \frac{\pi}{6},\frac{2\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} \right)$，则有$\frac{3\pi}{2} ＜ \frac{2\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{2}$，解得$\frac{5}{2} ＜ t \leq 4$，故D正确。

变式 1 (2025·临汾二模)已知函数 $ f(x)=2\sin(\omega x+\varphi) $,如图, $ A,B $ 是直线 $ y=\sqrt{2} $ 与曲线 $ y = f(x) $ 的两个交点,若 $ |AB|=\frac{\pi}{4},f(0)=2 $,则 $ f\left(\frac{\pi}{2}\right)= $ (B)

A.0
B.-2
C.1
D.2

答案： 变式1 B[解析]根据$f(0) = 2$可得$\sin\varphi = 1$，故$\varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$，故$f(x) = 2\sin\left( \omega x + \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right) = 2\cos\omega x$。令$f(x) = 2\cos\omega x = \sqrt{2}$，得$\omega x_1 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$或$\omega x_2 = - \frac{\pi}{4} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$，不妨取$\omega ＞ 0$，结合图象可知$\omega x_A = - \frac{\pi}{4} + 2\pi$，$\omega x_B = \frac{\pi}{4} + 2\pi$，因此$|AB| = x_B - x_A = \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{4}$，故$\omega = 2$，因此$f(x) = 2\cos 2x$，故$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2\cos\pi = - 2$。

例 2 (1)(2024·全国Ⅰ卷)当 $ x\in[0,2\pi] $ 时,曲线 $ y=\sin x $ 与 $ y=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) $ 的交点个数为 (C)

A.3
B.4
C.6
D.8

答案：

(1) C[解析]因为函数$y = \sin x$的最小正周期为$2\pi$，函数$y = 2\sin\left( 3x - \frac{\pi}{6} \right)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{3}$，所以在$[0,2\pi]$上，函数$y = 2\sin\left( 3x - \frac{\pi}{6} \right)$有三个周期的图象。两函数图象如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点。
　　　　

(2)(2025·龙岩 5 月质检)若将函数 $ y=\cos\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega\gt0) $ 的图象向左平移 $\frac{2\pi}{3}$ 个单位长度后得到一个奇函数的图象,则 $ \omega $ 的最小值为 (A)

A.$\frac{1}{4}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.3

答案：
(2) A[解析]将函数$y = \cos\left( \omega x + \frac{\pi}{3} \right)$的图象向左平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度后得到$f(x) = \cos\left[ \omega\left( x + \frac{2\pi}{3} \right) + \frac{\pi}{3} \right] = \cos\left( \omega x + \frac{2\pi}{3}\omega + \frac{\pi}{3} \right)$的图象，由$f(x)$为奇函数，知$\frac{2\pi}{3}\omega + \frac{\pi}{3} = k\pi + \frac{\pi}{2},k \in \mathbf{Z}$，即$\omega = \frac{1}{4} + \frac{3k}{2},k \in \mathbf{Z}$。又$\omega ＞ 0$，所以$\omega_{\min} = \frac{1}{4}$。

变式 2 (1)(2025·石家庄三模)将函数 $ f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+3 $ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度,得到函数 $ g(x) $ 的图象,则函数 $ g(x) $ 图象的一个对称中心是 (A)

A.$\left(-\frac{\pi}{12},3\right)$
B.$\left(-\frac{\pi}{12},0\right)$
C.$\left(\frac{\pi}{6},3\right)$
D.$\left(\frac{\pi}{6},0\right)$

答案：
(1) A[解析]由题意知$g(x) = f\left( x - \frac{\pi}{12} \right) = \sin\left[ 2\left( x - \frac{\pi}{12} \right) + \frac{\pi}{3} \right] + 3 = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) + 3$。令$2x + \frac{\pi}{6} = k\pi$，$k \in \mathbf{Z}$，解得$x = - \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2},k \in \mathbf{Z}$，所以函数$g(x)$图象的对称中心为$\left( - \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2},3 \right),k \in \mathbf{Z}$。故当$k = 0$时，$\left( - \frac{\pi}{12},3 \right)$为函数$g(x)$图象的一个对称中心。