《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式$3 $甲口袋中装有$1$个黑球和$2$个白球，乙口袋中装有$2$个黑球和$1$个白球，球除颜色外均相同。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行$n(n ∈ N*)$次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为$X_n，$恰有$1$个黑球的概率为$p_n。$　　
$(1)$求$p₁；$　　
$(2)$求$X_n$的数学期望$E(X_n)。$　　

答案：
(1)第一次操作后，口袋甲中恰有$1$个黑球只可
能有两种情况：①从口袋甲中摸出的是白球，从口袋乙中摸出的
也是白球，这种情况的概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$；②从口袋甲中摸出的
是黑球，从口袋乙中摸出的也是黑球，这种情况的概率为$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，所以$p_1=\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}$。
(2)记第$(n-1)$次操作后，口袋甲中黑球个数为$E(X_{n-1})$，则口
袋乙中黑球个数为$3-E(X_{n-1})$，从而第$n$次操作时从口袋甲中
取出黑球的个数服从超几何分布，取出黑球个数的期望为$1×E(X_{n-1})$；从口袋乙中取出黑球的个数也服从超几何分布，取出
黑球个数的期望为$1×\frac{3-E(X_{n-1})}{3}$。故第$n$次操作后，口袋甲中
黑球个数$X_n$满足$E(X_n)=E(X_{n-1})-\frac{E(X_{n-1})}{3}+\frac{3-E(X_{n-1})}{3}$，即$E(X_n)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}\left[E(X_{n-1})-\frac{3}{2}\right]$。第$1$次操作
时，从口袋甲中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个
数的期望为$1×\frac{1}{3}$，从口袋乙中取出黑球的个数也服从超几何分
布，则取出黑球个数的期望为$1×\frac{2}{3}$，所以$E(X_1)=1-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，即$E(X_1)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}\neq0$。所以数列$\left\{E(X_n)-\frac{3}{2}\right\}$是
以$-\frac{1}{6}$为首项，$-\frac{1}{6}$为公比的等比数列，所以$E(X_n)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}×\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$，所以$E(X_n)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{3}\right)^n$。