《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 3 若函数 $ f(x)=\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{5}\right)(\omega＞0) $ 在区间 $ \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right) $ 上恰有两个零点，则 $ \omega $ 的取值范围是()

A.$ \left(\frac{23}{15}, \frac{11}{5}\right] $
B.$ \left[\frac{23}{15}, \frac{11}{5}\right) $
C.$ \left(\frac{23}{15}, \frac{11}{5}\right] \cup\left[\frac{13}{5}, \frac{43}{15}\right] $
D.$ \left[\frac{23}{15}, \frac{11}{5}\right) \cup\left[\frac{13}{5}, \frac{43}{15}\right) $

答案： 例3 C 【解析】由题意知$\frac{T}{2}\leq\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=\pi$，又$T=\frac{2\pi}{\omega}$，所以$1＜\omega\leq3$.当$x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$时，$\frac{\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}＜\omega x+\frac{\pi}{5}＜\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}$，可知$\frac{\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}\in(\frac{7\pi}{10},\frac{17\pi}{10})$，$\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}\in(\frac{17\pi}{10},\frac{47\pi}{10}]$.因为函数$f(x)=\cos(\omega x+\frac{\pi}{5})$在区间$(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$上恰有两个零点，所以$\frac{\pi}{2}\leq\frac{\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{5}＜\frac{3\pi}{2}$或$\begin{cases}\frac{3\pi}{2}\leq\frac{3\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{5}\leq\frac{5\pi}{2}\\ \frac{5\pi}{2}\leq\frac{3\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{5}\leq\frac{9\pi}{2}\end{cases}$解得$\frac{23}{15}＜\omega\leq\frac{11}{5}$或$\frac{13}{5}\leq\omega\leq\frac{43}{15}$，即$\omega$的取值范围为$[\frac{23}{15},\frac{11}{5}]\cup[\frac{13}{5},\frac{43}{15}]$.

变式 3 (2025·辽宁二模)将函数 $ f(x)=\sin x $ 的图象先向右平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度，再把所得函数图象上每个点的横坐标都变为原来的 $ \frac{1}{\omega}(\omega＞0) $ 倍(纵坐标不变)，得到函数 $ g(x) $ 的图象.已知函数 $ g(x) $ 在 $ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $ 上有两个零点，则 $ \omega $ 的取值范围为()

A.$ \left[\frac{8}{3}, \frac{14}{3}\right) $
B.$ \left[\frac{7}{3}, \frac{14}{3}\right) $
C.$ \left[\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right) $
D.$ \left[\frac{7}{3}, \frac{13}{3}\right) $

答案： 变式3 A 【解析】由题意知$g(x)=\sin(\omega x-\frac{\pi}{3})$.当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$\omega x-\frac{\pi}{3}\in[-\frac{\pi}{3},\frac{\omega\pi}{2}-\frac{\pi}{3}]$.因为函数$g(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上有两个零点，所以$\pi\leq\frac{\omega\pi}{2}-\frac{\pi}{3}＜2\pi$，解得$\frac{8}{3}\leq\omega＜\frac{14}{3}$.

例 4 (1)(2025·武汉期末)已知函数 $ f(x)=\sin (x+\varphi) $，$ 0＜\varphi＜\pi $，若函数 $ f(x) $ 在 $ \left[0, \frac{3 \pi}{4}\right] $ 上存在最大值，但不存在最小值，则 $ \varphi $ 的取值范围是()

A.$ \left(0, \frac{\pi}{2}\right] $
B.$ \left(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right] $
C.$ \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right] $
D.$ \left(\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{4}\right] $

答案： 例4
(1)D 【解析】由$0\leq x＜\frac{3\pi}{4}$，得$\varphi\leq x+\varphi＜\frac{3\pi}{4}+\varphi$.因为$0＜\varphi＜\pi$，函数$f(x)$在$[0,\frac{3\pi}{4})$上存在最大值，但不存在最小值，所以当$\frac{3\pi}{4}+\varphi\geq\pi$，即$\varphi\geq\frac{\pi}{4}$时，只需满足$\frac{3\pi}{4}+\varphi\leq\frac{3\pi}{2}$，此时$\frac{\pi}{4}\leq\varphi\leq\frac{3\pi}{4}$；当$\frac{3\pi}{4}+\varphi＜\pi$，即$\varphi＜\frac{\pi}{4}$时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则$\frac{\pi}{2}＜\frac{3\pi}{4}+\varphi-\frac{\pi}{2}$，此时$\frac{\pi}{8}＜\varphi＜\frac{\pi}{4}$.综上，$\frac{\pi}{8}＜\varphi\leq\frac{3\pi}{4}$，即$\varphi$的取值范围是$(\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{4}]$.

(2)已知函数 $ f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)-1 $ 在 $ [0, m] $ 上有且仅有 3 个零点，则 $ m $ 的最小值为.

答案：
例4
(2)$\pi$ 【解析】由$x\in[0,m]$，得$2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},2m+\frac{\pi}{6}]$.因为$f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6}) - 1$在区间$[0,m]$上有且仅有$3$个零点，所以$\sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$在区间$[0,m]$上有且仅有$3$个解.结合$y = \sin x$与$y=\frac{1}{2}$的图象，知$\frac{13\pi}{6}\leq2m+\frac{\pi}{6}＜\frac{17\pi}{6}$，解得$\pi\leq m＜\frac{4\pi}{3}$，即$m$的最小值为$\pi$.

变式 4 已知直线 $ x=\frac{1}{12} $ 是函数 $ f(x)=\sin (3 \pi x+\varphi)\left(0＜\varphi＜\frac{\pi}{2}\right) $ 图象的一条对称轴，$ f(x) $ 的图象在区间 $ (-t, t)(t＞0) $ 内恰好存在 3 个对称中心，则 $ t $ 的取值范围为.

答案： 变式4 $(\frac{5}{12},\frac{7}{12}]$ 【解析】由直线$x=\frac{1}{12}$是函数$f(x)=\sin(3\pi x+\varphi)(0＜\varphi＜\frac{\pi}{2})$图象的一条对称轴，知$\frac{3\pi}{12}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，解得$\varphi=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$.因为$0＜\varphi＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{4}$，故$f(x)=\sin(3\pi x+\frac{\pi}{4})$.令$3\pi x+\frac{\pi}{4}=k\pi(k\in\mathbf{Z})$，解得$x=-\frac{1}{12}+\frac{k}{3}(k\in\mathbf{Z})$，原点附近的$6$个对称中心分别为$(-\frac{3}{4},0),(-\frac{5}{12},0),(-\frac{1}{12},0),(\frac{1}{4},0),(\frac{7}{12},0),(\frac{11}{12},0)$.若$3$个对称中心恰好是$(-\frac{1}{12},0),(\frac{1}{4},0),(\frac{7}{12},0)$，则$-\frac{5}{12}\leq - t＜-\frac{1}{12}$，此时$\frac{7}{12}＜t\leq\frac{11}{12}$，此时$t$不存在，不符合题意；若$3$个对称中心恰好是$(-\frac{5}{12},0),(-\frac{1}{12},0),(\frac{1}{4},0)$，则$-\frac{3}{4}\leq - t＜-\frac{5}{12}$，解得$\frac{5}{12}＜t\leq\frac{7}{12}$，经检验符合题意.故$t$的取值范围为$(\frac{5}{12},\frac{7}{12}]$.