《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 1 （2024·全国甲卷）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：

（1）填写如下列联表：

能否有 95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
附：参考公式和数据见基础回归。
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $ p = 0.5 $，设 $ \overline{p} $ 为升级改造后抽取的 $ n $ 件产品的优级品率。若 $ \overline{p} ＞ p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} $，则认为该工厂产品的优级品率提高了。根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（$ \sqrt{150} \approx 12.247 $）

答案：
例1　[解答]
(1)根据题意可得如下列联表：

可得$\chi^2=\frac{150×(26×30 - 24×70)^2}{50×100×96×54}=\frac{75}{16}=4.6875$。因为$3.841＜4.6875$，所以有$95\%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异。因为$\chi^2 = 4.6875＜6.635$，所以没有$99\%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异。
(2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为$\frac{96}{150}=0.64$，用频率估计概率可得$\hat{p}=0.64$。又因为升级改造前该工厂产品的优级品率$p = 0.5$，所以$p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}=0.5 + 1.65\sqrt{\frac{0.5×(1 - 0.5)}{150}}\approx0.5 + 1.65×\frac{0.5}{12.247}\approx0.567$，可知$\hat{p}＞p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了。