《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

(2)(2025·东莞、揭阳、韶关期末)方程 $ \sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos x = 0 $ 在 $[0,4\pi]$ 上的解的个数为 (C)

A.10
B.9
C.8
D.4

答案：

(2) C[解析]方程$\sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) - \cos x = 0$在$[0,4\pi]$上的解的个数，即是函数$y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$与函数$y = \cos x$图象在$[0,4\pi]$上的交点个数。在同一平面直角坐标系内作出两函数的部分图象，由图象可得，函数$y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$与函数$y = \cos x$图象在$[0,4\pi]$上有8个交点，则方程$\sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) - \cos x = 0$在$[0,4\pi]$上的解的个数为8。
　　

例 3 已知 $ f(x)=\sin 2x+\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)(x\in\mathbf{R}) $.
(1) 求函数 $ y = f(x) $ 的最小正周期及单调递增区间;
(2) 求函数 $ y = f(x)· f\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $ 在 $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$ 上的取值范围

答案： 例 3 [解答]
(1)因为$f(x) = \sin 2x + \cos\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = \sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$，所以$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$。令$- \frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$，得$- \frac{5\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{12} + k\pi,k \in \mathbf{Z}$，故函数$y = f(x)$的单调递增区间为$\left[ - \frac{5\pi}{12} + k\pi,\frac{\pi}{12} + k\pi \right],k \in \mathbf{Z}$。
(2)$y = f(x) · f\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)\sin\left( 2x + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)\cos\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}\sin\left( 4x + \frac{2\pi}{3} \right)$。因为$x \in \left[ 0,\frac{\pi}{4} \right]$，所以$4x + \frac{2\pi}{3} \in \left[ \frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3} \right]$，则$y = \frac{1}{2}\sin\left( 4x + \frac{2\pi}{3} \right) \in \left[ - \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{4} \right]$，因此函数$y = f(x) · f\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$在$\left[ 0,\frac{\pi}{4} \right]$上的取值范围为$\left[ - \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{4} \right]$。

变式 3 已知函数 $ f(x)=A\cos(\omega x+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0,0\lt\varphi\lt\pi) $ 的图象关于直线 $ x=\frac{\pi}{3} $ 对称,点 $ (0,2) $ 在 $ f(x) $ 的图象上, $ f(x_1)=0,f(x_2)=A $,且 $ |x_1 - x_2| $ 的最小值是 $\frac{\pi}{4}$.
(1) 求 $ f(x) $ 的解析式;
(2) 求不等式 $ f(x)\gt2 $ 的解集;
(3) 若对任意的 $ x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right] $,不等式 $ f(x)+a^2 - 2a + 1\geqslant0 $ 恒成立,求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 变式3 [解答]
(1)因为$|x_1 - x_2|$的最小值是$\frac{\pi}{4}$，所以$T = \frac{2\pi}{\omega} = 4 × \frac{\pi}{4} = \pi$，所以$\omega = 2$。因为$f(x)$的图象关于直线$x = \frac{\pi}{3}$对称，所以$f\left( \frac{\pi}{3} \right) = A\cos\left( 2 × \frac{\pi}{3} + \varphi \right) = \pm A$，所以$\cos\left( \frac{2\pi}{3} + \varphi \right) = \pm 1$，所以$\frac{2\pi}{3} + \varphi = k\pi(k \in \mathbf{Z})$，即$\varphi = k\pi - \frac{2\pi}{3}(k \in \mathbf{Z})$。又因为$0 ＜ \varphi ＜ \pi$，所以$\varphi = \frac{\pi}{3}$。因为点$(0,2)$在$f(x)$的图象上，所以$A\cos\frac{\pi}{3} = 2$，所以$A = 4$。故$f(x) = 4\cos\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$。
(2)不等式$f(x) ＞ 2$等价于$4\cos\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) ＞ 2$，即$\cos\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) ＞ \frac{1}{2}$，所以$2k\pi - \frac{\pi}{3} ＜ 2x + \frac{\pi}{3} ＜ 2k\pi + \frac{\pi}{3}(k \in \mathbf{Z})$，解得$k\pi - \frac{\pi}{3} ＜ x ＜ k\pi(k \in \mathbf{Z})$，即不等式$f(x) ＞ 2$的解集为$\left( k\pi - \frac{\pi}{3},k\pi \right)(k \in \mathbf{Z})$。
(3)因为$x \in \left[ \frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3} \right]$，所以$2x + \frac{\pi}{3} \in \left[ \frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3} \right]$，所以$\cos\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \in \left[ - 1,\frac{1}{2} \right]$，则$f(x) \in [ - 4,2]$，即$-f(x) \in [ - 2,4]$。因为对任意的$x \in \left[ \frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3} \right]$，不等式$f(x) + a^2 - 2a + 1 \geq 0$恒成立，所以$a^2 - 2a + 1 \geq [ - f(x) ]_{\max} = 4$，则$a^2 - 2a - 3 \geq 0$，即$(a - 3)(a + 1) \geq 0$。解得$a \leq - 1$或$a \geq 3$，所以实数$a$的取值范围为$( - \infty, - 1] \cup [3, + \infty )$。