《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式2-1
(2025·盐城期中)如图,“六芒星”由两个边长为$6$的正三角形组成,它们的中心重合于点$O$,且三组对边分别平行.若点$A,B$是“六芒星”(如图)的两个顶点,动点$P$在“六芒星”上(内部以及边界),则$\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{AP}$的取值范围是 (B)


A.$[-8,8]$
B.$[-6,6]$
C.$[-6\sqrt{3},6\sqrt{3}]$
D.$[-4,4\sqrt{3}]$

答案：
变式2 - 1B[解析]如图，以$O$为原点，建立平面直角坐标系，因为“六芒星”由两个边长为6的正三角形组成，它们的中心重合于点$O$，且三组对边分别平行，所以六边形$BCDEFG$是边长为2的正六边形，$OA = 2\sqrt{3}$，所以$OB = 2$，所以$A(0,-2\sqrt{3})$，$B(2,0)$。设$P(x,y)$，则$\overrightarrow{AP}=(x,y + 2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{OB}=(2,0)$，所以$\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{AP}=2x$。因为动点$P$在“六芒星”上（内部以及边界），所以$-3\leq x\leq3$，所以$-6\leq2x\leq6$，所以$-6\leq\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{AP}\leq6$，即$\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{AP}$的取值范围是$[-6,6]$。

例 2-2 如图,在大三角形中共有$10$个网格点,相邻网格点间的距离均为$1$,从中选取三个不同的网格点$A,B,C$,则$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$的最大值与最小值的和为 (C)

A.$2$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{11}{2}$
D.$\frac{15}{2}$

答案：
例2 - 2C[解析]由$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle$，得$\vert\overrightarrow{AC}\vert$最大且$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影最大时，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$取得最大值。如图
(1)，当$A$，$C$分别是最大的正三角形底边的端点，点$B$是$C$点上方且紧靠$C$的一点时，$\vert\overrightarrow{AC}\vert$最大，且$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影也最大，此时$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$取得最大值，最大值为$3×(2+\frac{1}{2})=\frac{15}{2}$。由$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle$，得$\vert\overrightarrow{AC}\vert$最大且$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上投影最小时，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$取得最小值，如图
(2)，当$B$，$C$分别是最大的正三角形的底边的端点，且$A$点是$B$，$C$之间的一点时，$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=\pi$，此时$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$取得最小值，最小值为$2×1×(-1)=-2$。综上，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$的最大值与最小值的和为$\frac{15}{2}-2=\frac{11}{2}$。

变式2-2
如图所示是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形$ABCDEFGH$的边长为$4$,点$P$是正八边形$ABCDEFGH$的内部(包含边界)任一点,则$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{EF}$的取值范围是$[-16 - 8\sqrt{2},8\sqrt{2}]$.

答案：
变式2 - 2$[-16 - 8\sqrt{2},8\sqrt{2}]$　[解析]如图，根据向量数量积的几何意义，$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{EF}$等于$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{EF}$上的投影向量与$\overrightarrow{EF}$的数量积。正八边形的每个内角为$\frac{(8 - 2)×180^{\circ}}{8}=135^{\circ}$，$AF\perp EF$，$CD\perp EF$，$GH\perp EF$，即$A$在$\overrightarrow{EF}$上投影为$F$，当$P$在$CD$上时，延长$CD$交$FE$的延长线于点$N$，则$\triangle END$为等腰直角三角形，此时$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{EF}$取得最小值，且最小值为$\overrightarrow{FN}·\overrightarrow{EF}=-(4 + 2\sqrt{2})×4=-16 - 8\sqrt{2}$。当$P$在$GH$上时，延长$GH$交$EF$的延长线于点$M$，同理，$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{EF}$的最大值为$\overrightarrow{FM}·\overrightarrow{EF}=2\sqrt{2}×4=8\sqrt{2}$，所以$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{EF}$的取值范围是$[-16 - 8\sqrt{2},8\sqrt{2}]$。

例 2-3 (1)如图,在$\triangle ABC$中,$D$是$BC$的中点,$E,F$是$AD$上的两个三等分点,$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{CA}=4,\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{CF}=-1$,则$\overrightarrow{BE}·\overrightarrow{CE}=$$\frac{7}{8}$.

答案：
例2 - 3
(1)$\frac{7}{8}$[解析]方法一:(极化恒等式法)设$BD = DC = m$，$AE = EF = FD = n$，则$AD = 3n$。根据向量的极化恒等式，有$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}^2-\overrightarrow{DB}^2=9n^2 - m^2 = 4$，$\overrightarrow{FB}·\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FD}^2-\overrightarrow{DB}^2=n^2 - m^2=-1$，解得$n^2=\frac{5}{8}$，$m^2=\frac{13}{8}$。因此$\overrightarrow{EB}·\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{ED}^2-\overrightarrow{DB}^2=4n^2 - m^2=\frac{7}{8}$，即$\overrightarrow{BE}·\overrightarrow{CE}=\frac{7}{8}$。
方法二:(坐标法)以直线$BC$为$x$轴，过点$D$且垂直于$BC$的直线为$y$轴，建立如图所示的平面直角坐标系$xDy$，设$A(3a,3b)$，$B(-c,0)$，$C(c,0)$，则有$E(2a,2b)$，$F(a,b)$，$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{CA}=(3a + c,3b)·(3a - c,3b)=9a^2 - c^2+9b^2 = 4$，$\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{CF}=(a + c,b)·(a - c,b)=a^2 - c^2+b^2=-1$，则$a^2 + b^2=\frac{5}{8}$，$c^2=\frac{13}{8}$，所以$\overrightarrow{BE}·\overrightarrow{CE}=(2a + c,2b)·(2a - c,2b)=4a^2 - c^2+4b^2=\frac{7}{8}$。
方法三:(基向量法)$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{CA}=(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB})·(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC})=\frac{4\overrightarrow{AD}^2-\overrightarrow{BC}^2}{4}=\frac{36\overrightarrow{FD}^2-\overrightarrow{BC}^2}{4}=4$，$\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{CF}=(\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DB})·(\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DC})=\frac{4\overrightarrow{FD}^2-\overrightarrow{BC}^2}{4}=-1$，因此$\overrightarrow{FD}^2=\frac{5}{8}$，$\overrightarrow{BC}^2=\frac{13}{2}$，所以$\overrightarrow{BE}·\overrightarrow{CE}=(\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DB})·(\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DC})=\frac{4\overrightarrow{ED}^2-\overrightarrow{BC}^2}{4}=\frac{16\overrightarrow{FD}^2-\overrightarrow{BC}^2}{4}=\frac{7}{8}$。
　　

(2)如图,在$\triangle ABC$中,已知$AB=4,AC=6,\angle BAC=60^{\circ}$,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,且$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$,若$F$为$DE$的中点,则$\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{DE}=$4.

答案：
例2 - 3
(2)4　[解析]如图，取$BD$的中点$N$，连接$NF$，$EB$，则$BE\perp AE$，可得$BE = 2\sqrt{3}$。在$\triangle DEB$中，$FN// EB$，且$FN=\frac{1}{2}EB$，则$FN=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{FB}·\overrightarrow{FD}=2(\overrightarrow{FN}^2-\frac{1}{4}\overrightarrow{DB}^2)=2(\overrightarrow{FN}^2 - 1)=4$。

变式2-3
(2025·南京二模)在四边形$ABCD$中,$AB// DC,A=90^{\circ},AB=AD=2CD=2,E$是线段$AD$的中点,$F$是线段$BE$上的动点,则$\overrightarrow{FB}·\overrightarrow{FC}$的最小值为 (C)

A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{5}{4}$
C.$-\frac{4}{5}$
D.$-\frac{7}{9}$

答案：
变式2 - 3C[解析]方法一:由平面几何知识知$BC=\sqrt{5}$。取$BC$的中点$M$，则$BM=\frac{\sqrt{5}}{2}$。由极化恒等式，有$\overrightarrow{FB}·\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FM}^2-\overrightarrow{MB}^2=\overrightarrow{FM}^2-\frac{5}{4}$。当$FM\perp BE$时，$FM$取最小值，此时，$MF=\frac{2S_{\triangle BME}}{BE}=\frac{ME· AE}{BE}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}$，所以$(\overrightarrow{FB}·\overrightarrow{FC})_{\min}=\frac{9}{20}-\frac{5}{4}=-\frac{4}{5}$。
方法二:以$A$为坐标原点，$AB$，$AD$所在直线分别为$x$，$y$轴建立如图所示的平面直角坐标系。因为$AB = AD = 2CD = 2$，$E$是线段$AD$的中点，所以$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(1,2)$，$D(0,2)$，$E(0,1)$，而$F$是线段$BE$上的动点，从而可设$\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{AB}+(1 - \lambda)\overrightarrow{AE}=(2\lambda,1 - \lambda)$，$\lambda\in[0,1]$，所以点$F$的坐标是$(2\lambda,1 - \lambda)$。所以$\overrightarrow{FB}=(2 - 2\lambda,-1 + \lambda)$，$\overrightarrow{FC}=(1 - 2\lambda,1 + \lambda)$，$\overrightarrow{FB}·\overrightarrow{FC}=(2 - 2\lambda)(1 - 2\lambda)+(-1 + \lambda)(1 + \lambda)=5\lambda^2 - 6\lambda+2+\lambda^2 - 1=5\lambda^2 - 6\lambda+1=5(\lambda-\frac{3}{5})^2-\frac{4}{5}$，$\lambda\in[0,1]$，所以当$\lambda=\frac{3}{5}$时，$\overrightarrow{FB}·\overrightarrow{FC}$取得最小值$-\frac{4}{5}$。