《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 3 在电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索。下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量 $ x(3\leq x\leq15) $（单位：件）与相应的生产总成本 $ y $（单位：万元）的四组对照数据。

企业研究人员建立了 $ y $ 关于 $ x $ 的两种回归模型，利用计算得到如下经验回归方程：
① $ \hat{y}_{1}=\frac{x^{3}}{3} + 173 $；② $ \hat{y}_{2}=68x - 160 $。其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差 = 观测值 - 预测值）。

（1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为 $ y $ 关于 $ x $ 的回归方程，并说明理由。

（2）从该企业过去几年生产的该产品中随机抽取 100 件，其中优等品有 60 件，合格品有 40 件。每件优等品利润为 20 万元，每件合格品利润为 15 万元。若以频率估计概率，该企业某月计划生产 12 件该产品，记优等品件数为 $ X $，总利润为 $ Y $。
①求 $ Y $ 与 $ X $ 的关系式，并求 $ E(X) $ 和 $ E(Y) $；
②记该月的成本利润率为 $ p $，在（1）中选择的经验回归方程下求 $ p $ 的估计值。（结果保留 2 位小数）
附：成本利润率 $ = \frac{总利润}{总成本}$20。-18-21

答案：
例3　[解答]
(1)经验回归方程②的残差数据如下表：

经验回归方程②的残差图如图所示。

经验回归方程①更适宜作为$y$关于$x$的经验回归方程(以下理由或其他合理的理由，说出一条即可)。理由1：经验回归方程①的4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小。理由2：经验回归方程①的4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄。理由3：经验回归方程①的4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近$x$轴。
(2)①由题意知，每件产品为优等品的概率$P_0=\frac{60}{100}=0.6$，则$X\sim B(12,0.6)$，因此$E(X)=12×0.6 = 7.2$。由$Y = 20X + 15×(12 - X)=5X + 180$，得$E(Y)=5E(X)+180 = 216$(万元)。
②由①知总利润为216万元，总成本估计值$\hat{y}_1=\frac{12^3}{3}+173 = 749$(万元)，则$p=\frac{216}{749}\approx0.29$。