《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例3 （2025·吕梁三模）某企业为了提高生产效率，采用智能监测器对企业的生产设备进行监测.已知该企业的生产设备正常的概率$p_{0}=0.8$，在生产设备异常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为$p_{1}(0 ＜ p_{1} ＜ 1)$；在生产设备正常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为$p_{2}$，$p_{2}=\frac{1 - p_{1}}{2}$.
（1）已知$p_{1}=0.9$，如果用$2$台智能监测器进行监测，且每台智能监测器相互独立，在生产设备异常的情况下，求智能监测器出现预警信号的台数$X$的分布列及数学期望；
（2）如果用$1$台智能监测器进行监测，要使在智能监测器出现预警信号的条件下，生产设备异常的概率超过$95\%$，求$p_{1}$的取值范围.
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答案：
例3【解答】
(1)智能监测器出现预警信号的台数X的所有可能取值为0,1,2，则$X\sim B(2,0.9)$，则$P(X=0)=C_{2}^{0}×0.9^{0}×(1-0.9)^{2}=0.01$，$P(X=1)=C_{2}^{1}×0.9×(1-0.9)=0.18$，$P(X=2)=C_{2}^{2}×0.9^{2}=0.81$，则X的分布列为

故$E(X)=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8$.
(2)设“生产设备正常”为事件A，“生产设备异常”为事件$\overline{A}$，“智能监测器出现预警信号”为事件B，则$P(A)=p_0=0.8$，$P(\overline{A})=1-p_0=0.2$，$P(B|A)=\frac{1-p_1}{2}$，$P(B|\overline{A})=p_1$.由全概率公式知$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0.8×\frac{1-p_1}{2}+0.2×p_1=0.4-0.2p_1$，$P(BA)=P(A)P(B|A)=0.2p_1$，所以$P(\overline{A}|B)=\frac{P(BA)}{P(B)}=\frac{0.2p_1}{0.4-0.2p_1}=\frac{p_1}{2-p_1}＞0.95=\frac{19}{20}$，解得$p_1＞\frac{38}{39}$，又因为$0＜p_1＜1$，所以$p_1$的取值范围是$(\frac{38}{39},1)$.

变式3 (1)(2025·汕头一模)设甲袋有$3$个红球，$2$个白球和$5$个黑球，乙袋有$3$个红球，$3$个白球和$4$个黑球，这些球除颜色外都相同.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以$A_{1}$，$A_{2}$和$A_{3}$分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件.再从乙袋中随机取出一球，以$B$表示由乙袋取出的球是红球的事件，则(C)

A.$A_{1}$与$B$相互独立
B.$P(B|A_{2})=\frac{2}{11}$
C.$P(B)=\frac{3}{10}$
D.$P(A_{3}|B)=\frac{1}{2}$

答案： 变式3
(1)C【解析】对于C，由题意得$P(A_1)=\frac{3}{3+2+5}=\frac{3}{10}$，$P(\overline{B}A_1)=\frac{3}{10}×\frac{4}{11}=\frac{6}{55}$，$P(A_2)=\frac{2}{3+2+5}=\frac{1}{5}$，$P(\overline{B}A_2)=\frac{1}{5}×\frac{3}{11}=\frac{3}{55}$，$P(A_3)=\frac{5}{3+2+5}=\frac{1}{2}$，$P(\overline{B}A_3)=\frac{1}{2}×\frac{3}{11}=\frac{3}{22}$，故$P(\overline{B})=P(\overline{B}A_1)+P(\overline{B}A_2)+P(\overline{B}A_3)=\frac{6}{55}+\frac{3}{55}+\frac{3}{22}=\frac{3}{10}$，C正确.对于A，因为$P(B)P(A_1)=\frac{3}{10}×\frac{3}{10}=\frac{9}{100}$，所以$P(\overline{B}A_1)\neq P(B)P(A_1)$，故$A_1$与B不独立，A错误.对于B，由条件概率得$P(\overline{B}|A_2)=\frac{P(\overline{B}A_2)}{P(A_2)}=\frac{\frac{3}{55}}{\frac{1}{5}}=\frac{3}{11}$，B错误.对于D，$P(A_3|B)=\frac{P(A_3B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{22}}{\frac{3}{10}}=\frac{5}{11}$，D错误.

(2)(多选)(2025·马鞍山一模)甲罐中有$4$个红球，$2$个白球，乙罐中有$5$个红球，$3$个白球，这些球除颜色外都相同.整个取球过程分为两步：①先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件$A_{1}=$“取出的是红球”，事件$A_{2}=$“取出的是白球”；②再从乙罐中随机取出两个球，记事件$B =$“取出的两球都是红球”，事件$C =$“取出的两球为一红一白”，则(AD)

A.$P(B|A_{1})=\frac{5}{12}$
B.$P(C|A_{2})=\frac{4}{9}$
C.$P(B)=\frac{11}{27}$
D.$P(C)=\frac{14}{27}$

答案：
(2)AD【解析】由题意知$P(A_1)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$P(A_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$P(B|A_1)=\frac{C_{6}^{2}}{C_{2}^{2}}=\frac{5}{12}$，$P(B|A_2)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{2}^{2}}=\frac{5}{18}$，$P(C|A_1)=\frac{C_{4}^{1}C_{2}^{1}}{C_{2}^{2}}=\frac{1}{2}$，$P(C|A_2)=\frac{C_{3}^{1}C_{1}^{1}}{C_{2}^{2}}=\frac{5}{9}$，$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)· P(B|A_2)=\frac{2}{3}×\frac{5}{12}+\frac{1}{3}×\frac{5}{18}=\frac{10}{36}+\frac{5}{54}=\frac{30 + 10}{108}=\frac{40}{108}=\frac{10}{27}$，$P(C)=P(A_1)P(C|A_1)+P(A_2)P(C|A_2)=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{5}{9}=\frac{1}{3}+\frac{5}{27}=\frac{9 + 5}{27}=\frac{14}{27}$.