《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式 1 - 1 （2025·新乡二模）《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。如图，在四面体 $ABCD$ 中，$CD\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp BC$，且 $AB = 4$，$BC = CD = 3$，$\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{EC}$。
（1）求证：四面体 $ABCD$ 为鳖臑；
（2）若直线 $MN\perp$ 平面 $ABD$，求直线 $BE$ 与 $MN$ 所成角的余弦值。

答案：
变式1 - 1【解答】
(1)因为$CD\perp$平面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，$AC\subset$平面$ABC$，$AB\subset$平面$ABC$，所以$CD\perp BC$，$CD\perp AC$，$CD\perp AB$.又$AB\perp BC$，且$BC\cap CD = C$，$BC,CD\subset$平面$BCD$，所以$AB\perp$平面$BCD$.又$BD\subset$平面$BCD$，所以$AB\perp BD$，所以四面体$ABCD$的四个面都为直角三角形，则四面体$ABCD$为鳖臑.
(2)以$B$为坐标原点，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$的方向分别为$x$，$y$轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则$A(0,4,0)$，$B(0,0,0)$，$D(3,0,3)$，$E(\frac{6}{5},\frac{12}{5},0)$，则$\overrightarrow{BA}=(0,4,0)$，$\overrightarrow{BD}=(3,0,3)$，$\overrightarrow{BE}=(\frac{6}{5},\frac{12}{5},0)$.设平面$ABD$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{BA}=4y = 0,\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{BD}=3x + 3z = 0,\end{cases}$令$x = 1$，得$\boldsymbol{n}=(1,0,-1)$.因为$\cos\langle\overrightarrow{BE},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{BE}·\boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{BE}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，又$\overrightarrow{MN}//\boldsymbol{n}$，所以直线$BE$与$MN$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
　　　 　　　

例 1 - 2 在三棱锥 $A - BCD$ 中，已知 $AB = AC = BD = CD = 3$，$AD = BC = 2$，$M$，$N$ 分别为 $AD$，$BC$ 的中点，则异面直线 $AN$，$CM$ 所成角的余弦值是$\frac{7}{8}$。

答案：
例1 - 2$\frac{7}{8}$【解析】如图，易得$|\overrightarrow{AN}|=|\overrightarrow{CM}|=2\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{7}$，设$AN$与$CM$的夹角为$\alpha$，则$\cos\alpha=\frac{|\overrightarrow{AM}^{2}+\overrightarrow{NC}^{2}-\overrightarrow{AC}^{2}-\overrightarrow{MN}^{2}|}{2|\overrightarrow{AN}|·|\overrightarrow{CM}|}=\frac{7}{8}$.

变式 1 - 2 已知平面四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC = 3$，$CD = 1$，$AD = \sqrt{5}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$。如图，沿直线 $AC$ 将 $\triangle ADC$ 翻折成 $\triangle AD'C$，则直线 $AC$ 与 $BD'$ 所成角的余弦值的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$。

答案： 变式1 - 2$\frac{\sqrt{6}}{6}$【解析】由斯坦纳定理得$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD'}=2$，所以$\cos\langle\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD'}\rangle=\frac{2}{\sqrt{6}|\overrightarrow{BD'}|}$，当且仅当$BD'$最小时，直线$AC$与$BD'$所成角的余弦值最大.又$\cos\angle ACD=\cos\angle ACB$，所以在翻折过程中，$BD'$的最小值为$BC - CD'=2$，此时$D'$在$BC$上，且直线$AC$与$BD'$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$.