《2025年初中同步练习册七年级数学上册鲁教版54制北京师范大学出版社》

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线,$\triangle ABD与\triangle ADC的周长之差为4$($AB＞AC$),$AB与AC的和为14$,求$AB与AC$的长。

答案： 解:因为AD是BC边上的中线,所以BD=CD,所以△ABD的周长-△ADC的周长=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=4,所以AB=AC+4。又AB+AC=14,所以AC+4+AC=14,解得AC=5,所以AB=5+4=9。所以AB和AC的长分别为9,5。

(综合与实践)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC和\angle ACB的平分线相交于点O$。
(1)当$\angle A= 90^{\circ}$时,求$\angle COB$的度数；
(2)当$\angle A= 50^{\circ}$时,求$\angle COB$的度数；
(3)试猜想当$\angle A= n^{\circ}$时,$\angle COB$的度数是多少；
(4)请利用(3)中得到的结论解答以下问题：当$\angle A$为多少度时,$\angle COB= 3\angle A$？

答案： 解:
(1)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-90°=90°。由题意,得∠ACO=∠BCO,∠CBO=∠ABO,所以∠BCO+∠CBO= $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=45°,所以∠COB=180°-(∠BCO+∠CBO)=180°-45°=135°。
(2)用与解
(1)同样的方法,可得∠COB=115°。
(3)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°。因为∠ACO=∠BCO,∠CBO=∠ABO,所以∠BCO+∠CBO= $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)= $\frac{1}{2}$(180°-n°)=90°- $\frac{1}{2}$n°,所以∠COB=180°-(∠BCO+∠CBO)=180°-(90°- $\frac{1}{2}$n°)=90°+ $\frac{1}{2}$n°。
(4)因为∠COB=90°+ $\frac{1}{2}$∠A,∠COB=3∠A,所以90°+ $\frac{1}{2}$∠A=3∠A,解得∠A=36°。即当∠A=36°时,∠COB=3∠A。