《2025年初中同步练习册七年级数学上册鲁教版54制北京师范大学出版社》

13. 如图,$AB = AC$,$BD = CD$,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$,试判断$\angle CDF与\angle BDE$的大小关系,并说明理由。

答案： 解:∠CDF=∠BDE。理由如下：
连接AD。
在△ACD和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AB,\\ CD=BD,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
所以△ACD≌△ABD(SSS)。
所以∠ACD=∠ABD。
因为DF⊥AF,DE⊥AE，
所以∠CDF=∠BDE。

(综合与实践)数学活动课上,老师要求利用角尺平分一个角(如图所示),同学们设计了如下方案。

方案一：$\angle AOB$是一个任意角,将角尺的直角顶点$P放在射线OA$,$OB$之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与$OA$,$OB$相交,交点分别为$M$,$N$,即$PM = PN$,过角尺顶点$P的射线OP就是\angle AOB$的平分线。
方案二：$\angle AOB$是一个任意角,在边$OA$,$OB上分别取OM = ON$,将角尺的直角顶点$P介于射线OA$,$OB$之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与$M$,$N$重合,即$PM = PN$,过角尺顶点$P的射线OP就是\angle AOB$的平分线。
方案一、方案二是否可行？请说明理由。

答案： 解:方案一不可行。缺少说明三角形全等的条件。
方案二可行。理由如下：
在△OPM和△OPN中，
$\left\{\begin{array}{l} OM=ON,\\ PM=PN,\\ OP=OP,\end{array}\right. $
所以△OPM≌△OPN(SSS)，
所以∠AOP=∠BOP。