《2025年初中同步练习册七年级数学上册鲁教版54制北京师范大学出版社》

14. 如图,在△ABC 中,AB = AC = 8,P 是 BC 上任意一点,PD⊥AB 于点 D,PE⊥AC 于点 E。若△ABC 的面积为 14,问：PD + PE 的值是否确定？若确定,求出这个值；若不确定,请说明理由。

答案：
解:$PD+PE$的值确定，且$PD+PE=\frac{7}{2}$。如图，
连接AP，则$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle APC}$。因为$S_{\triangle ABC}=14,S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PD$，$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AC\cdot PE$，所以$\frac{1}{2}AB\cdot PD+\frac{1}{2}AC\cdot PE=14$，即$\frac{1}{2}×8PD+\frac{1}{2}×8PE=14$，所以$4(PD+PE)=14$，所以$PD+PE=\frac{7}{2}$。

(综合与实践)如图①,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,AE 平分∠BAC(∠C ＞ ∠B)。
(1)若∠C = 75°,∠B = 45°,求∠DAE 的度数。
(2)试探究∠EAD 与∠C,∠B 的关系。
(3)F 是 AE 上一动点。
①若点 F 移动到点 A,E 之间的位置时,FD⊥BD,如图②所示,此时∠EFD 与∠C,∠B 的关系如何？
②当点 F 继续移动到 AE 的延长线上时,如图③所示,FD⊥BC,①中的结论是否还成立？如果成立,说明理由；如果不成立,写出新的结论。

答案： 解:
(1)因为$\angle B=45°,\angle C=75°$，所以$\angle BAC=180°-\angle B-\angle C=60°$。因为AE是角平分线，所以$\angle EAC=\frac{1}{2}\angle BAC=30°$。因为AD是高，$\angle C=75°$，所以$\angle DAC=90°-\angle C=15°$，所以$\angle EAD=\angle EAC-\angle DAC=30°-15°=15°$。
(2)在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180°-\angle B-\angle C$。因为AE为$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180°-\angle B-\angle C)=90°-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)$。因为$AD\perp BC$，所以在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=90°-\angle B$，所以$\angle EAD=\angle BAD-\angle BAE=(90°-\angle B)-\left[90°-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)\right]=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$。
(3)①在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180°-\angle B-\angle C$。因为AE为$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180°-\angle B-\angle C)=90°-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)$。因为$FD\perp BC$，所以在$\triangle EFD$中，$\angle EFD=90°-\angle FED$。因为在$\triangle ABE$中，$\angle AEB=180°-\angle B-\angle BAE$，又因为$\angle FED=180°-\angle AEB$，所以$\angle FED=\angle B+\angle BAE$，所以$\angle EFD=90°-\angle FED=90°-(\angle B+\angle BAE)=90°-\left[\angle B+90°-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)\right]=90°-\angle B-90°+\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle C=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$。②成立。理由如下：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180°-\angle B-\angle C$。因为AE为$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180°-\angle B-\angle C)=90°-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)$。又因为在$\triangle ABE$中，$\angle AEB=180°-\angle B-\angle BAE$，$\angle AEC=180°-\angle AEB$，所以$\angle AEC=\angle B+\angle BAE$。因为$FD\perp BC$，所以在$\triangle EFD$中，$\angle EFD=90°-\angle FED$，所以$\angle EFD=90°-\angle FED=90°-\angle AEC=90°-(\angle B+\angle BAE)=90°-\left[\angle B+90°-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)\right]=90°-\angle B-90°+\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle C=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$。