《2025年初中同步练习册七年级数学上册鲁教版54制北京师范大学出版社》

14. 如图,已知正方形$ABCD的面积是16cm^{2}$,$E$,$F$,$G$,$H$分别是正方形各边的中点,依次连接点$E$,$F$,$G$,$H$得到一个小正方形,求这个小正方形的边长。(结果精确到$0.1cm$)

答案： 解:因为正方形$ABCD$的面积是$16\ cm^{2}$,所以$AB=AD=4\ cm$。因为$E,H$为$AB,AD$的中点,所以$AE=AH=\frac{1}{2}× 4=2(cm)$,所以$S_{\triangle AEH}=\frac{1}{2}× 2× 2=2(cm^{2})$。设这个小正方形的边长为$x\ cm$,由题意得$x^{2}=16-4S_{\triangle AEH}$,即$x^{2}=8$。当$2＜x＜3$时,$4＜x^{2}＜9$。当$2.8＜x＜2.9$时,$7.84＜x^{2}＜8.41$。当$2.82＜x＜2.83$时,$7.9524＜x^{2}＜8.0089$。故小正方形的边长约为$2.8\ cm$。

(综合与实践)阅读：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,所以$\sqrt{7}$的整数部分为 2。
请你解决下列问题：
(1)规定$[m]表示实数m$的整数部分,例如：$[\frac{4}{5}]= 0$,$[\pi]=3$。填空：
$[\sqrt{10}]=$3；$[\sqrt{27}]=$5。
(2)如果$\sqrt{13}的整数部分为a$,$\sqrt{17}的整数部分为b$,求$a^{2}+b^{2}$的值。
25

答案： 1. （1）
因为$\sqrt{9}\lt\sqrt{10}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{10}\lt4$，所以$[\sqrt{10}]=3$；
因为$\sqrt{25}\lt\sqrt{27}\lt\sqrt{36}$，即$5\lt\sqrt{27}\lt6$，所以$[\sqrt{27}]=5$。
2. （2）
解：因为$\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{13}\lt4$，所以$\sqrt{13}$的整数部分$a = 3$；
又因为$\sqrt{16}\lt\sqrt{17}\lt\sqrt{25}$，即$4\lt\sqrt{17}\lt5$，所以$\sqrt{17}$的整数部分$b = 4$。
则$a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}$
根据平方运算：$3^{2}=9$，$4^{2}=16$。
所以$a^{2}+b^{2}=9 + 16=25$。
综上，（1）答案依次为$3$；$5$；（2）$a^{2}+b^{2}$的值为$25$。