《2025年初中同步练习册七年级数学上册鲁教版54制北京师范大学出版社》

13. 某中学七(5)班的学生到野外进行数学活动,为了测量一池塘两端 $ A $,$ B $ 之间的距离,同学们设计了如下两种方案：

(Ⅰ) 如图①,先在平地上取一个可以直接到达点 $ A $,$ B $ 的点 $ C $,再连接 $ AC $,$ BC $,并延长 $ AC $ 至点 $ D $,延长 $ BC $ 至点 $ E $,使 $ DC = AC $,$ EC = BC $,最后量出 $ DE $ 的长就是 $ A $,$ B $ 之间的距离；
(Ⅱ) 如图②,过点 $ B $ 作 $ AB $ 的垂线 $ BF $,在 $ BF $ 上取 $ C $,$ D $ 两点,使 $ BC = CD $,接着过点 $ D $ 作 $ BD $ 的垂线 $ DE $,交 $ AC $ 的延长线于点 $ E $,则测出 $ DE $ 的长即为 $ A $,$ B $ 之间的距离。
问：(1) 方案(Ⅰ)是否可行？ 可行。(填“可行”或“不可行”)理由： 由"SAS"知△ACB≌△DCE,所以AB=DE。
(2) 方案(Ⅱ)是否可行？ 可行。(填“可行”或“不可行”)理由： 由"ASA"知△ABC≌△EDC,所以AB=DE。
(3) 小明说在方案(Ⅱ)中并不一定要 $ BF \perp AB $,$ DE \perp BF $,只需 AB//DE就可以了。请把小明所说的条件补上。(不需要说明理由)

答案：
(1)可行;由"SAS"知△ACB≌△DCE,所以AB=DE
(2)可行;由"ASA"知△ABC≌△EDC,所以AB=DE
(3)AB//DE(答案不唯一,合理即可)

(数学应用) 如图,$ A $,$ B $ 两点被一座小山隔开,现需要测量 $ A $,$ B $ 之间的距离,有皮尺、绳子、木桩若干,请你设计一种测量方案,并说明理由。

答案：
解:如图,在山外找一个可以直接到达A,B两点的点O,在O处钉一木桩,用绳子连接AO,BO,并延长AO到点A',延长BO到点B',使OA'=AO,OB'=BO,在A',B'处分别钉木桩,这样A',B'两个木桩间的距离就是A,B间的距离。
理由如下:
在△AOB和△A'OB'中,
$\left\{\begin{array}{l} AO=A'O,\\ ∠AOB=∠A'OB',\\ BO=B'O,\end{array}\right. $

所以△AOB≌△A'OB'(SAS),
所以AB=A'B'。