《2025年初中同步练习册七年级数学上册鲁教版54制北京师范大学出版社》

9. 如图,已知$\angle A = 32^{\circ}$,$\angle ADC = 110^{\circ}$,$BE\perp AC于点E$,求$\angle B$的度数。

答案： 解:因为三角形三个内角的和等于180°,所以∠C+∠A+∠ADC=180°,∠B+∠C+∠BEC=180°,所以∠C=180°-∠A-∠ADC=180°-32°-110°=38°。又因为BE⊥AC,所以∠BEC=90°,所以∠B=180°-38°-90°=52°。

(综合与实践)把一块含$30^{\circ}角的三角板AOB的直角顶点O放置在水平线l$上,如图①所示。试回答下列问题：
(1) 填空：$\angle 1+\angle 2 = $90°。
(2) 现在把三角板$AOB绕点O$按顺时针方向旋转。
① 填空：当$\angle 1 = $60°时,$AB// l$。理由：内错角相等,两直线平行。
② 如图②,在三角板$AOB绕点O$按顺时针方向旋转的过程中,作$AC\perp l于点C$,$BD\perp l于点D$,图中是否存在相等的角？(图②中所有的直角相等不加以考虑,不能再随意添加字母或作出其他线段)若存在,试找出图中所有相等的角,并说明理由；若不存在,请举例说明。
∠CAO=∠2,∠1=∠OBD。理由如下:因为AC⊥l于点C,BD⊥l于点D,所以∠ACO=∠BDO=90°。所以∠1+∠CAO=180°-90°=90°,∠2+∠OBD=180°-90°=90°。又因为∠AOB=90°,所以∠1+∠2=180°-90°=90°,所以∠CAO=∠2,∠1=∠OBD。

答案：
(1)90°
(2)①60°;内错角相等,两直线平行 ②∠CAO=∠2,∠1=∠OBD。理由如下:因为AC⊥l于点C,BD⊥l于点D,所以∠ACO=∠BDO=90°。所以∠1+∠CAO=180°-90°=90°,∠2+∠OBD=180°-90°=90°。又因为∠AOB=90°,所以∠1+∠2=180°-90°=90°,所以∠CAO=∠2,∠1=∠OBD。