《2025年初中同步练习册七年级数学上册鲁教版54制北京师范大学出版社》

4. 解答下列各题。
(1) 特例探究：如图①,正方形$ABCD$中,$E$,$F分别为BC$,$CD$上两点,$\angle EAF = 45^{\circ}$,探究$BE$,$EF$,$DF$之间的数量关系。小明是这么思考的：延长$FD$,截取$DG = BE$。连接$AG$,易证$\triangle ADG \cong \triangle ABE$,从而得到$AG = AE$,再由“SAS”证明$\triangle AGF \cong \triangle AEF$,从而得出结论____。
(2) 一般探究：如图②,四边形$ABCD$中,$AD = AB$,$\angle B与\angle D$互补,$E$,$F分别是BC$,$CD$上两点,且满足$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$,探究$BE$,$EF$,$DF$之间的数量关系。

答案：
解:
(1)$EF=BE+DF$
(2)如图,延长 CB 至 G,使$BG=DF$,连接 AG。因为$∠ABC+∠D=180^{\circ }$,$∠ABC+∠ABG=180^{\circ }$,所以$∠ABG=∠D$。又因为$BG=DF$,$AD=AB$,所以$△ADF\cong △ABG(SAS)$。所以$∠DAF=∠BAG$,$AF=AG$。所以$∠FAG=∠DAB$。又因为$∠EAF=\frac {1}{2}∠DAB$,所以$∠EAF=\frac {1}{2}∠FAG$。所以$∠EAF=∠EAG$。又因为$AG=AF$,$AE=AE$,所以$△GAE\cong △FAE(SAS)$。所以$GE=EF$,所以$EF=GE=BE+BG=BE+DF$。

(综合与实践)如图①,线段$AB$,$CD相交于点O$,连接$AD$,$CB$。如图②,在图①的条件下,$\angle DAB和\angle BCD的平分线AP和CP相交于点P$,且与$CD$,$AB分别相交于点M$,$N$,试解答下列问题：
(1) 如图①,请直接写出$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$,$\angle D$之间的数量关系；
(2) 如图②,若$\angle D = 40^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,试求$\angle P$的度数；
(3) 若图②中$\angle D和\angle B$为任意锐角,其他条件不变,试写出$\angle P与\angle D$,$\angle B$之间的数量关系,不需要说明理由。

答案： 解:
(1)$∠A+∠D=∠B+∠C$。
(2)由题意,得$∠1+∠D=∠P+∠3$,①$∠4+∠B=∠2+∠P$。②因为 AP,CP 分别为$∠DAB$和$∠BCD$的平分线,所以$∠1=∠2$,$∠3=∠4$。①+②,得$∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P$,所以$∠D+∠B=2∠P$。因为$∠D=40^{\circ }$,$∠B=30^{\circ }$,所以$2∠P=40^{\circ }+30^{\circ }=70^{\circ }$,所以$∠P=35^{\circ }$。
(3)$∠P=\frac {1}{2}(∠B+∠D)$。