《2025年名师金典九年级数学全一册浙教版》

例1 (2023·杭州)设二次函数$y = ax^{2}+bx + 1$($a$,$b$是常数,且$a\neq0$).已知函数值$y和自变量x$的部分对应取值如下表所示:
|$x$|…$$|$-1$|$0$|$1$|$2$|$3$|…$$|
|$y$|…$$|$m$|$1$|$n$|$1$|$p$|…$$|
(1)若$m = 4$,求二次函数的表达式.
(2)写出一个符合条件的$x$的取值范围,使得$y随x$的增大而减小.
(3)若在$m$,$n$,$p$这三个实数中,只有一个是正数,求$a$的取值范围.

答案： 例1 解:
(1)把(-1,4),(2,1)代入y=ax²+bx+1,得
{a-b+1=4,
{4a+2b+1=1,
解得{a=1,
{b=-2,
∴y=x²-2x+1.
(2)
∵点(0,1),(2,1)在y=ax²+bx+1的图象上,
∴抛物线的对称轴为直线x=0+2/2=1,
∴当a＞0,x＜1时,y随x的增大而减小;
当a＜0,x＞1时,y随x的增大而减小.
(3)把(2,1)代入y=ax²+bx+1,得1=4a+2b+1,
∴b=-2a,
∴y=ax²+bx+1=ax²-2ax+1,
把(-1,m)代入y=ax²-2ax+1,
得m=a+2a+1=3a+1;
把(1,n)代入y=ax²-2ax+1,
得n=a-2a+1=-a+1;
把(3,p)代入y=ax²-2ax+1,
得p=9a-6a+1=3a+1.
∴m=p.
∵m,n,p这三个实数中,只有一个是正数,
∴{-a+1＞0,
{3a+1≤0,
解得a≤-1/3.

变式1-1 如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c与x轴相交于点A(1,0)$,$B(3,0)$,与$y轴相交于点C$,点$D$在抛物线上,当$CD// x$轴时,$CD = $4.

答案： 4

例2 函数$y = ax + b与函数y = bx^{2}+a$($a$,$b$是常数,且$ab\neq0$)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)

答案： D

变式2-1 如图,函数$y = mx^{2}-3x - m和y = -mx + m$($m$是常数,且$m\neq0$)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)

答案： B

例3 已知关于$x的二次函数为y= (x - 2a)(x - b - 1)$.
(1)若该函数的图象与$x$轴只有一个交点,求$a与b$之间的关系式.
(2)当$a = m$,$b = 1 - m$,该图象不经过第三象限时,求$m$的取值范围.

答案： 例3 解:
(1)令y=0,则(x-2a)(x-b-1)=0,
∴x=2a或x=b+1.
∵函数的图象与x轴只有一个交点,
∴2a=b+1.
(2)
∵a=m,b=1-m,
∴y=(x-2m)(x+m-2).
令y=0,得x=2m或x=2-m.
∵该图象不经过第三象限,
∴当该图象与x轴只有一个交点时,2m=2-m,解得m=2/3;
当该图象与x轴有两个交点时,x₁+x₂＞0,x₁x₂≥0,
即2m+2-m＞0,2m(2-m)≥0,解得0≤m≤2.
综上,m的取值范围是0≤m≤2.

变式3-1 抛物线$y = x^{2}+2x + a - 2$与坐标轴有且仅有两个交点,则$a$的值为(D)
A.$3$
B.$2$
C.$2或-3$
D.$2或3$

答案： D

例4 如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c的顶点A的坐标为(-\frac{1}{2},m)$,与$x轴的一个交点位于0和1$之间,则以下结论:①$abc＞0$；②$2b + c＞0$；③若图象经过点$(-3,y_{1})$,$(3,y_{2})$,则$y_{1}＞y_{2}$；④若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c - 3 = 0$无实数根,则$m＜3$.其中正确结论的个数是(C)
A.$1$


B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： C

变式4-1 如图,二次函数$y = ax^{2}+bx + c的图象经过点A(-3,0)$,其对称轴为直线$x = -1$,则下列四个结论正确的是(D)
A.$abc＞0$
B.$4ac - b^{2}＞0$
C.$a + b + c＜0$
D.$3a + c = 0$

答案： D