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9. 若将抛物线平移,有一个点既在平移前的抛物线上,又在平移后的抛物线上,则称这个点为“平衡点”.现将抛物线$C_{1}:y= (x-2)^{2}-4向右平移m(m＞0)个单位后得到新的抛物线C_{2}$.若点$(4,n)$为“平衡点”,则m的值为(
A.2
B.1
C.4
D.3
C
)A.2
B.1
C.4
D.3
答案：
C
10. 反比例函数$y= \frac{k}{x}$的图象过抛物线$y= (x+4)^{2}+3$的顶点,则k的值为
−12
.
答案：
−12
11. 有一抛物线,其顶点的横、纵坐标相等,且到x轴的距离为2,并与y轴交于点$(0,3)$,则该抛物线的表达式为
y=$\frac{1}{4}$(x−2)²+2或y=$\frac{5}{4}$(x+2)²−2
.
答案：
y=$\frac{1}{4}$(x−2)²+2或y=$\frac{5}{4}$(x+2)²−2
12. 已知抛物线$y= a(x-t-1)^{2}+t^{2}$(a,t是常数,且$a≠0,t≠0)的顶点在直线y= -2x+1$上,且经过点$(-2,5)$.
(1)求这条抛物线的表达式.
(2)判断点$(\frac{1}{3},\frac{10}{3})$在不在该抛物线上.
(3)若点$(m,9)$在该抛物线上,求出m的值.
(1)求这条抛物线的表达式.
(2)判断点$(\frac{1}{3},\frac{10}{3})$在不在该抛物线上.
(3)若点$(m,9)$在该抛物线上,求出m的值.
答案：
(1)抛物线y=a(x−t−1)²+t²(a,t是常数,且a≠0,t≠0)的顶点坐标为(t+1,t²). 把(t+1,t²)代入y=−2x+1,得−2(t+1)+1=t²,解得t1=t2=−1.故y=ax²+1. 把(−2,5)代入y=ax²+1,得4a+1=5,解得a=1,
∴这条抛物线的表达式为y=x²+1.
(2)将x=$\frac{1}{3}$代入,得y=($\frac{1}{3}$)²+1=$\frac{1}{9}$+1=$\frac{10}{9}$≠$\frac{10}{3}$,
∴点($\frac{1}{3}$,$\frac{10}{3}$)不在该抛物线上.
(3)将(m,9)代入,得9=m²+1,解得m=±2$\sqrt{2}$
(1)抛物线y=a(x−t−1)²+t²(a,t是常数,且a≠0,t≠0)的顶点坐标为(t+1,t²). 把(t+1,t²)代入y=−2x+1,得−2(t+1)+1=t²,解得t1=t2=−1.故y=ax²+1. 把(−2,5)代入y=ax²+1,得4a+1=5,解得a=1,
∴这条抛物线的表达式为y=x²+1.
(2)将x=$\frac{1}{3}$代入,得y=($\frac{1}{3}$)²+1=$\frac{1}{9}$+1=$\frac{10}{9}$≠$\frac{10}{3}$,
∴点($\frac{1}{3}$,$\frac{10}{3}$)不在该抛物线上.
(3)将(m,9)代入,得9=m²+1,解得m=±2$\sqrt{2}$
13. 已知抛物线$y= -\frac{1}{4}(x-2m)^{2}+3-4m$(m是实数).
(1)该抛物线的顶点可以是点$(2,-1)$,这个说法对吗?请说明理由.
(2)小明说:当m的值变化时,该抛物线的顶点始终在一条直线上运动,你认为他的说法对吗?为什么?
(1)该抛物线的顶点可以是点$(2,-1)$,这个说法对吗?请说明理由.
(2)小明说:当m的值变化时,该抛物线的顶点始终在一条直线上运动,你认为他的说法对吗?为什么?
答案：
(1)对.理由:由抛物线的表达式可知该抛物线的顶点坐标为(2m,3−4m).若该抛物线的顶点是点(2,−1),则2m=2,解得m=1;3−4m=−1,解得m=1,
∴该抛物线的顶点可以是点(2，−1).故这个说法是对的.
(2)对.理由:设该抛物线的顶点坐标为(x,y).
∵已知抛物线y=−$\frac{1}{4}$(x−2m)²+3−4m(m是实数),
∴x=2m,y=3−4m,
∴2x+y=3,即y=−2x+3,
∴当m的值变化时，该抛物线的顶点始终在直线y=−2x+3上运动.故小明的说法是对的.
(1)对.理由:由抛物线的表达式可知该抛物线的顶点坐标为(2m,3−4m).若该抛物线的顶点是点(2,−1),则2m=2,解得m=1;3−4m=−1,解得m=1,
∴该抛物线的顶点可以是点(2，−1).故这个说法是对的.
(2)对.理由:设该抛物线的顶点坐标为(x,y).
∵已知抛物线y=−$\frac{1}{4}$(x−2m)²+3−4m(m是实数),
∴x=2m,y=3−4m,
∴2x+y=3,即y=−2x+3,
∴当m的值变化时，该抛物线的顶点始终在直线y=−2x+3上运动.故小明的说法是对的.
14. (数形结合)如图,直线$y= -x-2$交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线$y= a(x-h)^{2}$的顶点为A,且经过点B.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若点$C(m,-\frac{9}{2})$在该抛物线上,求m的值.
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,连结PO,PB,当$PO+PB$的值最小时,求点P的坐标.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若点$C(m,-\frac{9}{2})$在该抛物线上,求m的值.
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,连结PO,PB,当$PO+PB$的值最小时,求点P的坐标.
答案：
(1)对于y=−x−2,令x=0,则y=−2,
∴点B的坐标为(0,−2);令y=0,则x=−2,
∴点A的坐标为(−2,0).
∵抛物线的顶点为A，且经过点B,
∴可设抛物线的表达式是y=a(x+2)².将B(0,−2)代入,得−2=4a,解得a=−$\frac{1}{2}$,
∴该抛物线的表达式为y=−$\frac{1}{2}$(x+2)²,即y=−$\frac{1}{2}$x²−2x−2.
(2)
∵点C(m,−$\frac{9}{2}$)在抛物线y=−$\frac{1}{2}$x²−2x−2上,
∴−$\frac{1}{2}$m²−2m−2=−$\frac{9}{2}$,
∴m²+4m−5=0,解得m1=1,m2=−5,
∴m的值为1或−5.
(3)设点B关于抛物线对称轴的对称点为B'，连结OB'，OB'与抛物线对称轴的交点即为满足题意的点P，如图，即此时OP+PB的值最小.
∵点B的坐标为(0,−2),且易知抛物线的对称轴为直线x=−2,
∴B'(-4,−2).易得直线OB'的表达式为y=$\frac{1}{2}$x.由$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=\frac{1}{2}x,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=-1.\end{array}\right. $故点P的坐标为(−2,−1).
(1)对于y=−x−2,令x=0,则y=−2,
∴点B的坐标为(0,−2);令y=0,则x=−2,
∴点A的坐标为(−2,0).
∵抛物线的顶点为A，且经过点B,
∴可设抛物线的表达式是y=a(x+2)².将B(0,−2)代入,得−2=4a,解得a=−$\frac{1}{2}$,
∴该抛物线的表达式为y=−$\frac{1}{2}$(x+2)²,即y=−$\frac{1}{2}$x²−2x−2.
(2)
∵点C(m,−$\frac{9}{2}$)在抛物线y=−$\frac{1}{2}$x²−2x−2上,
∴−$\frac{1}{2}$m²−2m−2=−$\frac{9}{2}$,
∴m²+4m−5=0,解得m1=1,m2=−5,
∴m的值为1或−5.
(3)设点B关于抛物线对称轴的对称点为B'，连结OB'，OB'与抛物线对称轴的交点即为满足题意的点P，如图，即此时OP+PB的值最小.
∵点B的坐标为(0,−2),且易知抛物线的对称轴为直线x=−2,
∴B'(-4,−2).易得直线OB'的表达式为y=$\frac{1}{2}$x.由$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=\frac{1}{2}x,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=-1.\end{array}\right. $故点P的坐标为(−2,−1).
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