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10. 为了使居住环境更加美观,某小区建造了一个小型喷泉,水流从地面上的点$O$喷出,在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面,某方向上抛物线的形状如图所示,落点$A到点O的距离为4m$,水流喷出的高度$y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式y= ax^{2}+\frac {24}{5}x$,则水流喷出的最大高度为______
$\dfrac{24}{5}\ \text{m}$
.
答案：
$\dfrac{24}{5}\ \text{m}$
11. 如图,某足球运动员站在点$O$处练习射门,将足球从离地面$0.5m的A$处正对球门踢出(点$A在y$轴上),足球的飞行高度$y(m)与飞行时间t(s)之间满足函数关系式y= at^{2}+5t+c$,已知足球飞行$0.8s$时,离地面的高度为$3.5m$.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离$x(m)与飞行时间t(s)之间满足函数关系式x= 10t$,已知球门的高度为$2.44m$,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为$28m$,他能否将球直接射入球门？
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离$x(m)与飞行时间t(s)之间满足函数关系式x= 10t$,已知球门的高度为$2.44m$,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为$28m$,他能否将球直接射入球门？
答案：
解:
(1)由题意，得函数$y = at^{2}+5t + c$的图象经过点$(0,0.5),(0.8,3.5)$,
$\therefore\begin{cases}0.5 = c\\3.5 = 0.8^{2}a + 5×0.8 + c\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\dfrac{25}{16}\\c = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y = -\dfrac{25}{16}t^{2}+5t + \dfrac{1}{2}$.
又$y = -\dfrac{25}{16}t^{2}+5t + \dfrac{1}{2}=-\dfrac{25}{16}\left(t - \dfrac{8}{5}\right)^{2}+\dfrac{9}{2}$,
$\therefore$当$t = \dfrac{8}{5}=1.6$时,$y_{\text{最大}}=\dfrac{9}{2}=4.5$,即足球的飞行时间是1.6s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m.
(2)把$x = 28$代入$x = 10t$,得$t = 2.8$,
$\therefore$当$t = 2.8$时,$y = -\dfrac{25}{16}×2.8^{2}+5×2.8+\dfrac{1}{2}=2.25＜2.44$,$\therefore$他能将球直接射入球门.
(1)由题意，得函数$y = at^{2}+5t + c$的图象经过点$(0,0.5),(0.8,3.5)$,
$\therefore\begin{cases}0.5 = c\\3.5 = 0.8^{2}a + 5×0.8 + c\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\dfrac{25}{16}\\c = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y = -\dfrac{25}{16}t^{2}+5t + \dfrac{1}{2}$.
又$y = -\dfrac{25}{16}t^{2}+5t + \dfrac{1}{2}=-\dfrac{25}{16}\left(t - \dfrac{8}{5}\right)^{2}+\dfrac{9}{2}$,
$\therefore$当$t = \dfrac{8}{5}=1.6$时,$y_{\text{最大}}=\dfrac{9}{2}=4.5$,即足球的飞行时间是1.6s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m.
(2)把$x = 28$代入$x = 10t$,得$t = 2.8$,
$\therefore$当$t = 2.8$时,$y = -\dfrac{25}{16}×2.8^{2}+5×2.8+\dfrac{1}{2}=2.25＜2.44$,$\therefore$他能将球直接射入球门.
12. (数形结合)某工厂计划从现在开始,在每个生产周期内生产并销售完某型号设备,该设备的生产成本为$10$万元/件. 设第$x个生产周期设备的售价为z$万元/件,$z与x之间的函数表达式为z= \left\{\begin{array}{l} 15(0\lt x\leqslant 12),\\ mx+n(12\lt x\leqslant 20),\end{array} \right. 其中x$是正整数. 当$x= 16$时,$z= 14$；当$x= 20$时,$z= 13$.
(1)求$m,n$的值.
(2)设第$x个生产周期生产并销售完设备的数量为y$件,且$y与x满足关系式y= 5x+20$.
①当$12\lt x\leqslant 20$时,工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当$0\lt x\leqslant 20$时,若有且只有$3个生产周期的利润不小于a$万元,求实数$a$的取值范围.
(1)求$m,n$的值.
(2)设第$x个生产周期生产并销售完设备的数量为y$件,且$y与x满足关系式y= 5x+20$.
①当$12\lt x\leqslant 20$时,工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当$0\lt x\leqslant 20$时,若有且只有$3个生产周期的利润不小于a$万元,求实数$a$的取值范围.
答案：
解:
(1)把$x = 16$时,$z = 14$;$x = 20$时,$z = 13$代入$z = mx + n$,得$\begin{cases}16m + n = 14\\20m + n = 13\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\dfrac{1}{4}\\n = 18\end{cases}$
(2)①设第$x$个生产周期创造的利润为$w$万元.
由
(1)知,当$12＜x\leqslant20$时,$z = -\dfrac{1}{4}x + 18$,$\therefore w=(z - 10)y=\left(-\dfrac{1}{4}x + 18 - 10\right)(5x + 20)=\left(-\dfrac{1}{4}x + 8\right)(5x + 20)=-\dfrac{5}{4}x^{2}+35x + 160=-\dfrac{5}{4}(x - 14)^{2}+405$.
$\because -\dfrac{5}{4}＜0$,$12＜x\leqslant20$,$\therefore$当$x = 14$时,$w$取得最大值,最大值为4，$\therefore$工厂第14个生产周期获得的利润最大,最大的利润是405万元.
②当$0＜x\leqslant12$时,$z = 15$,
$\therefore w=(15 - 10)(5x + 20)=25x + 100$,
$\therefore w=\begin{cases}25x + 100(0＜x\leqslant12)\\-\dfrac{5}{4}(x - 14)^{2}+405(12＜x\leqslant20)\end{cases}$
则$w$与$x$的函数图象如图所示,
由图象可知,当$x = 13,15$时,$w = 403.75$;当$x = 12,16$时,$w = 400$,$\therefore$若有且只有3个生产周期的利润不小于$a$万元,$a$的取值范围为$400＜a\leqslant403.75$.
(1)把$x = 16$时,$z = 14$;$x = 20$时,$z = 13$代入$z = mx + n$,得$\begin{cases}16m + n = 14\\20m + n = 13\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\dfrac{1}{4}\\n = 18\end{cases}$
(2)①设第$x$个生产周期创造的利润为$w$万元.
由
(1)知,当$12＜x\leqslant20$时,$z = -\dfrac{1}{4}x + 18$,$\therefore w=(z - 10)y=\left(-\dfrac{1}{4}x + 18 - 10\right)(5x + 20)=\left(-\dfrac{1}{4}x + 8\right)(5x + 20)=-\dfrac{5}{4}x^{2}+35x + 160=-\dfrac{5}{4}(x - 14)^{2}+405$.
$\because -\dfrac{5}{4}＜0$,$12＜x\leqslant20$,$\therefore$当$x = 14$时,$w$取得最大值,最大值为4，$\therefore$工厂第14个生产周期获得的利润最大,最大的利润是405万元.
②当$0＜x\leqslant12$时,$z = 15$,
$\therefore w=(15 - 10)(5x + 20)=25x + 100$,
$\therefore w=\begin{cases}25x + 100(0＜x\leqslant12)\\-\dfrac{5}{4}(x - 14)^{2}+405(12＜x\leqslant20)\end{cases}$
则$w$与$x$的函数图象如图所示,
由图象可知,当$x = 13,15$时,$w = 403.75$;当$x = 12,16$时,$w = 400$,$\therefore$若有且只有3个生产周期的利润不小于$a$万元,$a$的取值范围为$400＜a\leqslant403.75$.
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