《2025年名师金典九年级数学全一册浙教版》

某抛物线的形状、开口方向与抛物线$y= \frac {1}{2}x^{2}-4x+3$相同,顶点坐标为$(-2,1)$,则该抛物线的表达式为(C)
A.$y= \frac {1}{2}(x-2)^{2}+1$
B.$y= \frac {1}{2}(x+2)^{2}-1$
C.$y= \frac {1}{2}(x+2)^{2}+1$
D.$y= -\frac {1}{2}(x+2)^{2}+1$

答案： C

变式1-1 如图是一条抛物线,则其表达式为(B)
A.$y= x^{2}-2x+3$
B.$y= x^{2}-2x-3$
C.$y= x^{2}+2x+3$
D.$y= x^{2}+2x-3$

答案： B

例2 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c$(a,b,c是常数,$a≠0)$中,y与x的部分对应值如下表.
|x| -5| -4| -2| 0| 2|
|y| 6| 0| -6| -4| 6|
下列结论:①$a＞0$;②当$x= -2$时,函数取最小值,为-6;③若点$(-8,y_{1})$,点$(8,y_{2})$在二次函数图象上,则$y_{1}\lt y_{2}$;④关于x的方程$ax^{2}+bx+c= -5$有两个不相等的实数根.其中正确的结论是____①③④(填序号).

答案： ①③④

变式2-1 已知抛物线$y= x^{2}+(m+3)x+m$.当$x= 1$时,$y＞0$;当$x＜-2$时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是(C)
A.$m＞-2$
B.$m≥1$
C.$-2\lt m≤1$
D.$-2\lt m≤2$

答案： C

例3 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中,如图所示:

方案一:抛物线型拱门的跨度$ON= 12m$,拱高$PE= 4m$.其中,点N在x轴上,$PE⊥ON$,$OE= EN$.
方案二:抛物线型拱门的跨度$ON'= 8m$,拱高$P'E'= 6m$.其中,点$N'$在x轴上,$P'E'⊥ON'$,$OE'= E'N'$.
方案一中,矩形框架ABCD的面积记为$S_{1}$,点A,D在抛物线上,边BC在ON上;方案二中,矩形框架$A'B'C'D'的面积记为S_{2}$,点$A',D'$在抛物线上,边$B'C'在ON'$上.现知,小华已正确求出方案二中当$A'B'= 3m$时,$S_{2}= 12\sqrt {2}m^{2}$.请你根据以上提供的相关信息,解答下列问题:
(1)求方案一中抛物线的函数表达式.
(2)在方案一中,当$AB= 3m$时,求矩形框架ABCD的面积$S_{1}$,并比较$S_{1},S_{2}$的大小.

答案： 解:
(1)由题意知,方案一中抛物线的顶点为P(6,4),设抛物线的函数表达式为$y=a(x-6)^{2}+4$,把$O(0,0)$代入,得$0=a(0-6)^{2}+4$,解得$a=-\frac {1}{9}$,$\therefore y=-\frac {1}{9}(x-6)^{2}+4$,即$y=-\frac {1}{9}x^{2}+\frac {4}{3}x$.
(2)在$y=-\frac {1}{9}x^{2}+\frac {4}{3}x$中,令$y=3$,得$3=-\frac {1}{9}x^{2}+\frac {4}{3}x$.解得$x=3$或$x=9$,$\therefore BC=9-3=6(m)$,$\therefore S_{1}=AB\cdot BC=3×6=18(m^{2})$.$\because 18＞12\sqrt {2}$,$\therefore S_{1}＞S_{2}$.

1. 抛物线$y= -(3-x)^{2}+5$的顶点坐标是(C)
A.$(3,-5)$
B.$(-3,5)$
C.$(3,5)$
D.$(-3,-5)$

答案： C