《2025年名师金典九年级数学全一册浙教版》

1. 某市公园欲修建一个圆形喷水池,在水池中垂直于地面安装一个柱子$OP$,安置在柱子顶端$P$处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,在过$OP$的任一平面上,建立平面直角坐标系(如图所示),水平距离$x(m)与水流喷出的高度y(m)之间的关系式为y= -\frac{2}{9}x^{2}+\frac{4}{3}x+2$,则水流喷出的最大高度是(D)
A.5.5m
B.5m
C.4.5m
D.4m

答案： D

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$,$AB= 6mm$,$BC= 12mm$,动点$P从点A开始沿边AB向B$以2mm/s的速度移动(不与点$B$重合),动点$Q从点B开始沿边BC向C$以4mm/s的速度移动(不与点$C$重合)。如果$P$,$Q分别从A$,$B$同时出发,那么当四边形$APQC$的面积最小时,经过的时间是(B)

A.0.5s
B.1.5s
C.3s
D.4s

答案： B

3. 如图,在长为20m,宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径。若小径的宽不超过1m,则花圃中的阴影部分的面积有(A)
A.最小值$247m^{2}$
B.最小值$266m^{2}$
C.最大值$247m^{2}$
D.最大值$266m^{2}$

答案： A

4. 在平面直角坐标系中,点$B的坐标为(-2,4)$,将抛物线$y= -x^{2}-2x+4$向左平移2个单位后的顶点记为$A$。若点$P是x$轴上一动点,则$PA+PB$的最小值是$\sqrt{82}$。

答案： $\sqrt{82}$

5. 小王和小李先后从$A地出发沿同一直道去B$地。设小李出发第$x$min时,小李,小王离$B地的距离分别为y_{1}m$,$y_{2}m$。$y_{1}与x之间的函数表达式为y_{1}= -180x+2250$,$y_{2}与x之间的函数表达式为y_{2}= -10x^{2}-100x+2000$。
(1)小李出发时,小王离$A$地的距离为______250m。
(2)小李出发至小王到达$B$地这段时间内,当小李出发______4min时两人相距最近,这个最近距离是______90m。

答案：
(1)250　
(2)4　90

6. 施工队要修建一个横断面为抛物线形的公路隧道,其高度为8米,宽度$OM$为16米,现在以$O$为原点,$OM所在直线为x$轴建立平面直角坐标系(如图1)。

(1)直接写出点$M及抛物线顶点P$的坐标。
(2)求这条抛物线的表达式,并写出自变量$x$的取值范围。
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”$ABCD$,使点$A$,$D$在抛物线上,点$B$,$C在地面OM$线上,如图2,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆$AB$,$AD$,$DC$的长度和的最大值是多少？请帮施工队计算一下。

答案：
(1)依题意知抛物线形的公路隧道的高度为8米，宽度OM为16米，现在点O为原点，
∴点M(16,0)，顶点P(8,8)。
(2)设抛物线的表达式为y = a(x - 8)² + 8，把点M(16,0)代入，得64a + 8 = 0，
∴a = -$\frac{1}{8}$，
∴抛物线的表达式为y = -$\frac{1}{8}$(x - 8)² + 8 = -$\frac{1}{8}$x² + 2x。自变量x的取值范围为0 ≤ x ≤ 16。
(3)设OB = x米，则AD = BC = (16 - 2x)米，AB = DC = (-$\frac{1}{8}$x² + 2x)米。设l = AB + AD + DC，则l = -$\frac{1}{4}$x² + 4x + 16 - 2x，
∴l = -$\frac{1}{4}$x² + 2x + 16 = -$\frac{1}{4}$(x - 4)² + 20。
∵ -$\frac{1}{4}$＜0，
∴当x = 4时，l有最大值为20。答:三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米。