《2025年名师金典九年级数学全一册浙教版》

9. 数学课上,老师让学生尺规作图画$Rt△ABC$,使其斜边$AB= c$,一条直角边$BC= a$,小明的作法如图所示.你认为这种作法中判定$∠ACB$是直角的依据是(C)
A.勾股定理
B.勾股定理的逆定理
C.直径所对的圆周角是直角
D.$90^{\circ }$的圆周角所对的弦是直径

答案： C

10. 如图,在$\odot O$中,A,B,C,E四点在圆上,$OC⊥AB$,垂足为D,$AB= 8$,$CD= 2$,则CE的值为______4$\sqrt{5}$.

答案： 4$\sqrt{5}$

11. 如图,AB是$\odot O$的弦,半径$OD⊥AB$,垂足为C,点E在$\odot O$上,连结OA,OB,DE,BE.
(1)若$∠DEB= 30^{\circ }$,求$∠AOD$的度数.
(2)若$CD= 2$,$AB= 8$,求$\odot O$的半径长.

答案：
(1)
∵OD⊥AB,
∴$\overset{\frown}{AD}$=$\overset{\frown}{BD}$,
∴∠AOD=∠BOD.
∵∠DEB=30°,
∴∠BOD=2∠DEB=60°,
∴∠AOD=∠BOD=60°.
(2)设⊙O的半径为r,则OA=OD=r,OC=r−2.
∵OD ⊥AB,
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4.在Rt△OAC中,由勾股定理,得(r−2)²+4²=r²,解得r=5,即⊙O的半径为5.

12. 如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且$OD// BC$,OD与AC交于点E.
(1)若$∠B= 70^{\circ }$,求$∠CAD$的度数.
(2)若$AB= 4$,$AC= 3$,求DE的长.

答案： 解:
(1)
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠B=70°,
∴∠CAB=90°−∠B=90°−70°=20°.又
∵OD//BC,
∴∠DOA=∠B=70°.
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO=55°.
∴∠CAD=∠DAO−∠CAB=55°−20°=35°.
(2)在Rt△ABC中,BC=$\sqrt{AB² - AC²}$=$\sqrt{4² - 3²}$=$\sqrt{7}$.
∵OD//BC,
∴∠AEO=∠ACB=90°,
∴AE=EC.又
∵OA=OB,
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$.又
∵OD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∴DE=OD−OE=2 - $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

13. 在$\odot O$中,AB为直径,C为圆上一点,将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,$AC= 2$,求$\odot O$的半径r.
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,$∠BAC= 25^{\circ }$,求$∠DCA$的度数.

答案： 解:
(1)如图1,过点O作OE⊥AC于点E,则AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1.
∵翻折后点D与圆心O重合,
∴OE=$\frac{1}{2}$r.在Rt△AOE中,AO²=AE²+OE²,即r²=1²+($\frac{1}{2}$r)²,解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$(负值已舍去).
(2)如图2,连结BC.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°−∠BAC=90°−25°=65°.根据翻折的性质,$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为∠B,$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆周角为∠ADC,
∴∠ADC+∠B=180°,
∴∠CDB=∠B=65°,
∴∠DCA=∠CDB−∠A=65°−25°=40°.