《2025年名师金典九年级数学全一册浙教版》

例1(教材P18T3改编)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + 3的图象经过点(-3,0),(2,-5)$.
(1)试确定此二次函数的表达式.
(2)请你判断点$A(-2,4)$是否在这个二次函数的图象上.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数表达式的确定以及点是否在二次函数图象上的判断。
(1) 根据题目，二次函数$y = ax^{2} + bx + 3$经过点$(-3,0)$和$(2,-5)$，可以将这两点的坐标代入函数表达式，得到两个方程：
将点$(-3,0)$代入，得到：$0 = 9a - 3b + 3$；
将点$(2,-5)$代入，得到：$-5 = 4a + 2b + 3$。
于是我们得到了一个关于$a$和$b$的二元一次方程组：
$\begin{cases}9a - 3b + 3 = 0, \\4a + 2b + 3 = -5.\end{cases}$
解这个方程组，可以得到$a$和$b$的值，从而确定二次函数的表达式。
(2) 要判断点$A(-2,4)$是否在这个二次函数的图象上，只需将点$A$的坐标代入已经求得的二次函数表达式，检查等式是否成立。
【答案】：
(1) 解方程组：
$\begin{cases}9a - 3b + 3 = 0, \\4a + 2b + 3 = -5.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1, \\b = -2.\end{cases}$
因此，二次函数的表达式为$y = -x^{2} - 2x + 3$。
(2) 将点$A(-2,4)$的坐标代入$y = -x^{2} - 2x + 3$，得到：
左边$= 4$，右边$= -(-2)^{2} - 2(-2) + 3 = 3$，
因为左边$\neq$右边，所以点$A(-2,4)$不在这个二次函数的图象上。

变式1-1 若$y = ax^{2}+bx + c$,则由表格中的信息可知$y与x$之间的函数表达式是(A)
|$x$|$-1$|$0$|$1$|
|$ax^{2}$| | |$2$|
|$ax^{2}+bx + c$|$9$|$4$| |
A.$y = 2x^{2}-3x + 4$
B.$y = 2x^{2}-4x + 3$
C.$y = -2x^{2}-3x + 3$
D.$y = -2x^{2}-3x + 8$

答案： 解：当$x = 1$时，$ax^{2}=2$，即$a×1^{2}=2$，解得$a = 2$。
当$x = 0$时，$ax^{2}+bx + c=4$，即$0 + 0 + c=4$，解得$c = 4$。
当$x=-1$时，$ax^{2}+bx + c=9$，即$2×(-1)^{2}+b×(-1)+4=9$，$2 - b + 4=9$，$6 - b=9$，解得$b=-3$。
所以函数表达式为$y = 2x^{2}-3x + 4$。
答案：A

例2(教材P23T5(2)改编)已知顶点在$x轴上的抛物线的对称轴为直线x = -2$,且过点$(1,-3)$.求该抛物线对应的函数表达式.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数表达式的求解。由于抛物线的顶点在$x$轴上，且对称轴为直线$x = -2$，我们可以设抛物线对应的函数表达式为顶点式$y = a(x + 2)^{2}$（其中$a \neq 0$，因为抛物线存在所以系数$a$不能为0）。
接下来，我们使用给定的点$(1, -3)$来确定$a$的值。将这个点代入函数表达式，我们得到一个关于$a$的一元一次方程。
解这个方程，我们可以找到$a$的值，从而确定抛物线对应的函数表达式。
【答案】：
解：设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x + 2)^{2}$（$a \neq 0$）。
因为抛物线过点$(1, -3)$，代入得：
$-3 = a(1 + 2)^{2}$，
$-3 = 9a$，
从上式解得：$a = -\frac{1}{3}$。
因此，抛物线对应的函数表达式为：
$y = -\frac{1}{3}(x + 2)^{2}$。

变式2-1 已知二次函数图象的顶点坐标为$(-1,1)$,且经过点$(1,-3)$,则这个二次函数的表达式为______$y = - x^{2} - 2x$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数表达式的确定，特别是顶点式的应用。
首先，根据题目给出的二次函数图象的顶点坐标为$(-1,1)$，可以设二次函数的表达式为顶点式：
$y = a(x + 1)^{2} + 1$
其中，a是待求的系数。
接着，利用题目给出的另一个条件，即二次函数图象经过点$(1,-3)$，将这个点的坐标代入上述表达式中，得到：
$-3 = a(1 + 1)^{2} + 1$
$-3 = 4a + 1$
解这个方程，可以得到：
$a = -1$
因此，这个二次函数的表达式为：
$y = -(x + 1)^{2} + 1$
展开后得到：
$y = -x^{2} - 2x$
【答案】：
$y = - x^{2} - 2x$

例3(教材P31T5改编)如图,已知抛物线与$x轴相交于两点A(1,0),B(3,0)$,与$y轴相交于点C(0,3)$.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若$D(\frac{7}{2},m)$是该抛物线上的一点,求出$m$的值,并求出此时$\triangle ABD$的面积.

答案： 【解析】：
（1）本题考查的是二次函数表达式的求解，已知抛物线与$x$轴相交于两点$A(1,0)$，$B(3,0)$，可设抛物线的交点式为$y=a(x - x_1)(x - x_2)$（其中$x_1$，$x_2$为抛物线与$x$轴交点的横坐标），再把点$C(0,3)$代入求出$a$的值，进而得到抛物线的表达式。
（2）本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征以及三角形面积的计算。先将点$D$的横坐标代入抛物线表达式求出$m$的值，再根据三角形面积公式求出$\triangle ABD$的面积。
（1）设抛物线的表达式为$y=a(x - 1)(x - 3)$（$a\neq0$），因为抛物线与$y$轴相交于点$C(0,3)$，把$x = 0$，$y = 3$代入$y=a(x - 1)(x - 3)$可得：
$3=a×(0 - 1)×(0 - 3)$
$3 = 3a$
解得$a = 1$。
所以该抛物线的表达式为$y=(x - 1)(x - 3)=x^2 - 4x + 3$。
（2）因为点$D(\frac{7}{2},m)$在抛物线上，把$x = \frac{7}{2}$代入$y=x^2 - 4x + 3$可得：
$m = (\frac{7}{2})^2 - 4×\frac{7}{2} + 3$
$=\frac{49}{4} - 14 + 3$
$=\frac{49}{4} - \frac{56}{4} + \frac{12}{4}$
$=\frac{49 + 12 - 56}{4}=\frac{5}{4}$
由$A(1,0)$，$B(3,0)$可知$AB=3 - 1 = 2$，点$D$到$x$轴的距离就是$\triangle ABD$中$AB$边上的高，其值为$\vert m\vert=\frac{5}{4}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得${S}_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB×\vert m\vert=\frac{1}{2}× 2×\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$。
【答案】：
(1)$y = x^2 - 4x + 3$
(2)$m=\frac{5}{4}$；${S}_{\triangle ABD}=\frac{5}{4}$

变式3-1 已知二次函数$y = x^{2}+bx + c的图象经过点(-3,0)$,且对称轴为直线$x = -1$,则此二次函数的表达式为$y=x^{2}+2x - 3$.

答案： 解：因为二次函数$y = x^{2}+bx + c$的对称轴为直线$x = -1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=1$，可得$-\frac{b}{2×1}=-1$，解得$b=2$。
又因为函数图象经过点$(-3,0)$，将$x=-3$，$y=0$，$b=2$代入函数表达式，得$0=(-3)^{2}+2×(-3)+c$，即$0=9 - 6 + c$，解得$c=-3$。
所以此二次函数的表达式为$y=x^{2}+2x - 3$。
答案：$y=x^{2}+2x - 3$

例4(教材P17T2改编)已知抛物线$y = ax^{2}-5x + 4a与x轴交于点A,B$,且过点$C(5,4)$.
(1)求$a的值和抛物线的顶点P$的坐标.
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的函数表达式.

答案： 【解析】：
(1)由于抛物线过点$C(5,4)$，可以将这个点的坐标代入抛物线的一般式$y = ax^{2} - 5x + 4a$中，得到一个关于$a$的方程。
解这个方程可以求出$a$的值。
求出$a$的值后，可以得到抛物线的具体表达式，然后通过公式$-\frac{b}{2a}$求出顶点横坐标，再将横坐标代入原方程求出顶点纵坐标，从而得到顶点$P$的坐标。
(2)要使平移后的抛物线顶点落在第二象限，可以考虑将抛物线向左平移和向上平移。
由于顶点原本在第一象限，所以向左平移会使顶点的$x$坐标减小，向上平移会使顶点的$y$坐标增大。
通过调整平移的距离，可以使新的顶点落在第二象限。
平移后的抛物线表达式可以通过将原表达式中的$x$替换为$x+h$（$h$为平移的单位距离），并在整个表达式后加上一个常数$k$（$k$为向上平移的单位距离）来得到。
【答案】：
(1)
解：将点$C(5,4)$代入$y = ax^{2} - 5x + 4a$，得到：
$4 = 25a - 25 + 4a$
$4 = 29a - 25$
$29a = 29$
$a = 1$
因此，抛物线的表达式为$y = x^{2} - 5x + 4$。
通过公式$-\frac{b}{2a}$，得到顶点的$x$坐标为$\frac{5}{2}$，将$x=\frac{5}{2}$代入原方程得到顶点的$y$坐标为$-\frac{9}{4}$。
所以，顶点$P$的坐标为$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$。
(2)
解：考虑将抛物线向左平移3个单位，向上平移4个单位，这样新的顶点坐标会变为$(-\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$，这个点位于第二象限。
因此，平移后的抛物线表达式为：
$y = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} = x^{2} + x + 2$。