《2025年名师金典九年级数学全一册浙教版》

11. 已知 $ y = y_{1} + y_{2} $,$ y_{1} $ 与 $ x $ 成正比例,$ y_{2} $ 与 $ x^{2} $ 成正比例,当 $ x = 1 $ 时,$ y = 6 $；当 $ x = 3 $ 时,$ y = 8 $,求 $ y $ 关于 $ x $ 的表达式.

答案： 解:$\because y_{1}$与x成正比例,$\therefore$设$y_{1}=k_{1}x(k_{1}≠0).$$\because y_{2}$与$x^{2}$成正比例,$\therefore$设$y_{2}=k_{2}x^{2}(k_{2}≠0),$$\therefore y=y_{1}+y_{2}=k_{1}x+k_{2}x^{2}.$
∵当$x=1$时,$y=6;x=3$时,$y=8,$$\therefore \left\{\begin{array}{l} k_{1}+k_{2}=6,\\ 3k_{1}+9k_{2}=8\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k_{1}=\frac {23}{3},\\ k_{2}=-\frac {5}{3},\end{array}\right. $$\therefore y$关于x的函数表达式为$y=\frac {23}{3}x-\frac {5}{3}x^{2}.$

12. 如图,已知在周长为 16 的 $ □ ABCD $ 中,$ \angle B = 60^{\circ} $. 设 $ AB = x $,$ □ ABCD $ 的面积是 $ S $.
(1)求面积 $ S $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(2)当 $ 3AB = BC $ 时,求 $ S $ 的值.

答案：
解:
(1)如图,过点A作$AE⊥BC$于点E.
∵$∠B=60^{\circ },AB=x,\therefore AE=\frac {\sqrt {3}}{2}x.$

∵$□ ABCD$的周长为16,$\therefore AB+BC=8,\therefore BC=8-x.$$\therefore S=AE\cdot BC=\frac {\sqrt {3}}{2}x(8-x)=-\frac {\sqrt {3}}{2}x^{2}+4\sqrt {3}x.$
(2)$\because 3AB=BC,\therefore 3x=8-x,\therefore x=2$.将$x=2$代入,得$S=-\frac {\sqrt {3}}{2}×4+8\sqrt {3}=6\sqrt {3}.$

13.(数学建模)每年 5 月的第二个星期日即为母亲节,“父母恩深重,恩怜无歇时”,许多市民喜欢在母亲节为母亲送花,感恩母亲,祝福母亲. 今年节日前夕,某花店采购了一批鲜花礼盒,经分析去年的销售情况,发现该鲜花礼盒该周的销售量 $ y $(盒)是销售单价 $ x $(元)的一次函数,已知销售单价为 70 元时,销售量为 160 盒；销售单价为 80 元时,销售量为 140 盒.
(1)求去年该周的销售量 $ y $(盒)关于销售单价 $ x $(元)的一次函数表达式.
(2)若按去年的方式销售,已知今年该鲜花礼盒的进价是每盒 50 元,试确定销售单价 $ x $(元)与销售利润之间的函数表达式.

答案： 解:
(1)设$y=kx+b$,将$x=70,y=160;x=80,y=140$代入,得$\left\{\begin{array}{l} 70k+b=160,\\ 80k+b=140,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=300.\end{array}\right. \therefore y=-2x+300.$
(2)设销售利润为w元,则$w=(x-50)(-2x+300)=-2x^{2}+400x-15000.$