《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

6.(广东深圳中学自主招生)一个三角形三边长分别为5k,12k,13k,面积S≤900,满足情况的正整数k有5个.

答案： 6.5　[解析]由题意,得(5k)²+(12k)²=(13k)²,
∴三角形为直角三角形，且两直角边分别是5k，12k，
∴S=1/2×5k×12k=30k².
∵S≤900,
∴30k²≤900,
∴k²≤30.
　又k为正整数，
∴k=1,2,3,4,5,
∴满足情况的正整数k有5个.

7.中考新考法 课题实践活动 数学老师在一次"探究性学习"课中,设计了如下数表:
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
| a | 3 | 8 | 15 | 24 | ... |
| b | 4 | 6 | 8 | 10 | ... |
| c | 5 | 10 | 17 | 26 | ... |
由表可知,当n= 2时,a= 3,b= 4,c= 5;当n= 3时,a= 8,b= 6,c= 10;....
(1)当n= 6时,a= 35,b= 12,c= 37.
(2)请你分别观察a,b,c与n(n＞1)之间的关系,并分别用含有n的代数式表示a,b,c:
a= n²−1,b= 2n,c= n²+1.
(3)猜想以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形,并说明理由.
以a,b,c为边的三角形是直角三角形.理由如下:
∵a²+b²=(n²−1)²+4n²=n⁴+2n²+1,
c²=(n²+1)²=n⁴+2n²+1,
∴a²+b²=c²,
∴以a,b,c为边的三角形是直角三角形.

答案： 7.
(1)35　12　37　[解析]
∵当n=2时,a=2²−1,b=2×2,c=2²+1;
　当n=3时,a=3²−1,b=2×3,c=3²+1;
当n=4时,a=4²−1,b=2×4,c=4²+1;
　当n=5时,a=5²−1,b=2×5,c=5²+1,
∴当n=6时,a=6²−1=35,b=2×6=12,c=6²+1 =37.
(2)n²−1　2n　n²+1
(3)以a,b,c为边的三角形是直角三角形.理由如下:
∵a²+b²=(n²−1)²+4n²=n⁴+2n²+1,
　c²=(n²+1)²=n⁴+2n²+1,
∴a²+b²=c²,
∴以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
　思路引导　本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题。

8.一题多问 传统文化 罗士琳法则 (2024·无锡江阴期中)如果直角三角形的三边的长都是正整数,这样的三个正整数叫作勾股数组.我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究,提出了各种有关公式400多个.他提出:当m,n为正整数,且m＞n时$,m^2-n^2,2mn,m^2+n^2$为一组勾股数组,直到现在,人们都普遍采用他的这一公式.
(1)除勾股数3,4,5外,请再写出两组勾股数组6,8,10,5,12,13(答案不唯一);
(2)若令$x= m^2-n^2,y= 2mn,z= m^2+n^2,$请你证明x,y,z为一组勾股数.
∵x=m²−n²,y=2mn,z=m²+n²,
∴x²=(m²−n²)²=m⁴+n⁴−2m²n²,y²=4m²n²,z²=(m²+n²)²=m⁴+n⁴+2m²n²,
∴x²+y²=(m⁴+n⁴−2m²n²)+4m²n²=m⁴+n⁴+2m²n²=z²,
∴x,y,z是一组勾股数.

答案： 8.
(1)6,8,10　5,12,13(答案不唯一)
(2)
∵x=m²−n²,y=2mn,z=m²+n²,
∴x²=(m²−n²)²=m⁴+n⁴−2m²n²,y²=4m²n²,z²=(m²+n²)²=m⁴+n⁴+2m²n²,
∴x²+y²=(m⁴+n⁴−2m²n²)+4m²n²=m⁴+n⁴+2m²n²=z²,
∴x,y,z是一组勾股数.

9.中考新考法 解题方法型阅读理解题 将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,其中∠DAB= 90°,求证$:a^2+b^2= c^2.$
证明:连接DB,过点D作边BC上的高DF,则DF= EC= b-a.
∵S四边形$ADCB= S△ACD+S△ABC= 1/2b^2+1/2ab,$
又S四边形$ADCB= S△ADB+S△DCB= 1/2c^2+1/2a(b-a),$
∴$1/2b^2+1/2ab= 1/2c^2+1/2a(b-a),$
∴$a^2+b^2= c^2.$
请参照上述证法,利用图(2)完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB= 90°.求证$:a^2+b^2= c^2.$

答案：
9.如图,连接BD,过点B作边DE上的高BF，则BF=b−a.
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=1/2 ab+1/2 b²+1/2 ab,
　S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=1/2 ab+1/2 c²+1/2 a(b−a),
　
∴1/2 ab+1/2 b²+1/2 ab=1/2 ab+1/2 c²+1/2 a(b−a),
∴a²+b²=c².
　归纳总结　本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键。