《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

1. 教材 P95 练习 T1·变式 (2025·盐城期末)下列四组线段中,可以构成直角三角形的是(B).
A.2,3,4
B.3,4,5
C.3,4,7
D.4,5,6

答案： B

2. (2025·苏州工业园区期中)在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,在下列条件中,不能确定△ABC 的形状是直角三角形的是(A).
A.$(a+b)^2= c^2$
B.$a:b:c= 1:1:\sqrt{2}$
C.∠A+∠B= ∠C
D.∠A:∠B:∠C= 1:2:3

答案： A [解析]A.
∵(a+b)²=c²,
∴a²+2ab+b²=c²,不能得出a²+b²=c²,
∴不能得出△ABC的形状是直角三角形,故A符合题意;B.
∵a:b:c=1:1:$\sqrt{2}$,
∴设a=k,b=k,c=$\sqrt{2}$k,
∴a²+b²=2k²=c²,
∴能判断△ABC为直角三角形,故B不符合题意;C.
∵∠A+∠B=∠C,
∴∠C=90°,
∴能判断△ABC为直角三角形,故C不符合题意;D.
∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,
∴设∠A=α,则∠B=2α,∠C=3α,
∴α+2α+3α=180°,解得α=30°,
∴∠C=90°,
∴能判断△ABC为直角三角形,故D不符合题意.故选A.

3. 传统文化 《九章算术》 (2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数 a,b,c 的计算公式:$a= \frac{1}{2}(m^2-n^2)$,$b= mn$,$c= \frac{1}{2}(m^2+n^2)$,其中 $m＞n＞0$,m,n 是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是(C).
A.3,4,5
B.5,12,13
C.6,8,10
D.7,24,25

答案： C [解析]
∵当m=3,n=1时,a=$\frac{1}{2}$(m² - n²)=$\frac{1}{2}$×(3² - 1²)=4,b=mn=3×1=3,c=$\frac{1}{2}$(m² + n²)=$\frac{1}{2}$×(3² + 1²)=5,
∴选项A不符合题意;
∵当m=5,n=1时,a=$\frac{1}{2}$(m² - n²)=$\frac{1}{2}$×(5² - 1²)=12,b=mn=5×1=5,c=$\frac{1}{2}$(m² + n²)=$\frac{1}{2}$×(5² + 1²)=13,
∴选项B不符合题意;
∵当m=7,n=1时,a=$\frac{1}{2}$(m² - n²)=$\frac{1}{2}$×(7² - 1²)=24,b=mn=7×1=7,c=$\frac{1}{2}$(m² + n²)=$\frac{1}{2}$×(7² + 1²)=25,
∴选项D不符合题意;
∵没有符合条件的m,n使a,b,c各为6,8,10,
∴选项C符合题意.故选C.

4. (2025·宿迁宿豫区期中改编)如图是搭建帐篷的示意图.在△ABC 中,支架 AD 从帐篷顶点 A 支撑在水平的支架 BC 上,且 $AD\perp BC$ 于点 D,经测量得:AB= 2 m,AD= 1.2 m,CD= 0.9 m.按照要求,帐篷支架 AB 与 AC 所夹的角需为直角,请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件.
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答案： 帐篷符合要求.理由如下:在Rt△ACD中,CD=0.9m,AD=1.2m,
∴AC=$\sqrt{AD² + CD²}$=$\sqrt{1.2² + 0.9²}$=1.5(m),在Rt△ADB中,AB=2m,AD=1.2m,
∴BD=$\sqrt{2² - 1.2²}$=1.6(m),
∴BC=1.6 + 0.9=2.5(m).
∵AB²+AC²=2²+1.5²=6.25,BC²=2.5²=6.25,
∴AB²+AC²=BC².
∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°.
∴帐篷符合要求.

5. 教材 P96 习题 T1·变式 (2024·苏州吴中区期中)下列由三条线段 a,b,c(所对的角分别为∠A,∠B,∠C)构成的三角形:①∠A+∠B= ∠C;②$a= 3k$,$b= 4k$,$c= 5k$ ($k＞0$);③∠A:∠B:∠C= 3:4:5;④$a= m^2+1$,$b= m^2-1$,$c= 2m$(m 为大于 1 的整数),其中能构成直角三角形的是(B).
A.①④
B.①②④
C.②③④
D.①②③

答案： B [解析]①
∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C+∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴能构成直角三角形;②
∵a²+b²=(3k)²+(4k)²=25k²,c²=(5k)²=25k²,
∴a²+b²=c²,
∴能构成直角三角形;③
∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°×$\frac{5}{12}$=75°,
∴不能构成直角三角形;④
∵a²=(m²+1)²=m⁴+2m²+1,b²+c²=(m² - 1)²+(2m)²=m⁴ - 2m²+1+4m²=m⁴+2m²+1,
∴a²=b²+c²,
∴能构成直角三角形.
∴能构成直角三角形的是①②④.故选B.归纳总结 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理,熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键.

6. 实验班原创 已知三条线段分别长 s,t,h,且满足 $(s+t)(s-t)= h^2$,则以这三条线段为边组成的三角形为直角三角形.

答案： 直角三角形

7. (2025·宿迁期末)如图,在“4×4”的正方形网格中,∠1+∠2 的度数为45°.

答案： 45° [解析]将∠2向下平移1个单位格得到AB,如图,连接AC,
∴∠2=∠ABE.
∵AC²=AD²+CD²=2²+1²=5,AB²=BE²+AE²=2²+1²=5,BC²=3²+1²=10,
∴AC²+AB²=BC²,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABE+∠1=45°,
∴∠1+∠2=45°.

8. 若 a,b,c 是直角三角形的三条边长,斜边 c 上的高是 h,给出下列结论:①以 $a^2$,$b^2$,$c^2$ 的长为边的三条线段能组成一个三角形;②以 $a+b$,$c+h$,h 的长为边的三条线段能组成直角三角形;③以 $\frac{1}{a}$,$\frac{1}{b}$,$\frac{1}{c}$ 的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为______②.

答案： ②

9. 中考新考法 新定义问题 定义:如图,点 M,N 把线段 AB 分割成 AM,MN,NB,若以 AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形,则称点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点.
(1)已知 M,N 把线段 AB 分割成 AM,MN,NB,若 AM= 1.5,MN= 2.5,BN= 2,则点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点吗? 请说明理由.
(2)已知点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,且 AM 为直角边,若 AB= 24,AM= 6,求 BN 的长.
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答案：
(1)
∵AM²+BN²=1.5²+2²=6.25,MN²=2.5²=6.25,
∴AM²+BN²=MN²,
∴以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,
∴点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设BN=x,则MN=24 - AM - BN=18 - x.①当MN为最长线段时,由题意,得MN²=AM²+NB²,即(18 - x)²=x²+36,解得x=8;②当BN为最长线段时,由题意,得BN²=AM²+MN²,即x²=36+(18 - x)²,解得x=10.综上所述,BN的长为8或10.易错警示 本题考查了勾股定理的逆定理的运用,解题的关键是理解题意,学会分类讨论,注意不能漏解,属于中考常考题型.