《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

9. (2025·苏州外国语学校月考)在△ABC 中,AB= AC,∠BAC= 120°,AD⊥BC,垂足为 G,且 AD= AB,∠EDF= 60°,其两边分别交边 AB,AC 于点 E,F.求证:
(1)△ABD 是等边三角形;
(2)BE= AF.

答案：
(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
∵AD=AB=AC,
∴△ABD是等边三角形.
(2)
∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF,
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF.
　在△BDE与△ADF中，{∠DBE=∠DAF=60°，BD=AD，∠BDE=∠ADF}，
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.

10. (2025·扬州广陵区期中)如图(1),在四边形 ABCD 中,DC//AB,AD= BC,BD 平分∠ABC.
(1)求证:AD= DC;
(2)如图(2),在上述条件下,若∠A= ∠ABC= 60°,过点 D 作 DE⊥AB,过点 C 作 CF⊥BD,垂足分别为 E,F,连接 EF.判断△DEF 的形状并证明你的结论.

答案：
(1)
∵DC//AB,
∴∠CDB=∠ABD.
　　又BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD.
∴∠CDB=∠CBD,
∴BC=DC.
　　又AD=BC,
∴AD=DC.
(2)△DEF为等边三角形,证明如下:
∵BC=DC(已证),CF⊥BD,
∴点F是BD的中点
∵∠DEB=90°,
∴EF=DF=BF.
∵∠ABC=60°,BD平分∠ABC,
∴∠DBE=30°,∠BDE=60°,
∴△DEF为等边三角形.
　　归纳总结　此题主要考查了等边三角形判定以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，得出EF=DF=BF是解题关键.

11. (2024·徐州邳州期中)如图,在等边三角形 ABC 中,点 P 在△ABC 内,点 Q 在△ABC 外,且∠ABP= ∠ACQ,BP= CQ,问△APQ 是什么形状的三角形? 试说明你的结论.

答案： △APQ为等边三角形.证明如下:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC.
　在△ABP与△ACQ中，{AB=AC，∠ABP=∠ACQ，BP=CQ}，
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ是等边三角形.

12. (2024·南京师大附中月考)已知:如图,在△ABC AB= AC,∠BAC= 120°,AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点E,D,连接AE,AD求证:△AED等边三角形.

答案：
∵AB=AC、∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−120°)=30°.
∵AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点E,D,
∴AE=BE,AD=CD,
∴∠BAE=∠B=30°,∠CAD=∠C=30°,
∴∠AED=∠B+∠BAE=60°,∠ADE=∠C+∠CAD=60°,
∴∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.

13.(2024·泰安中考)如图直线l//m,等边三角形ABC 的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE= 21°,则∠ACD 的度数是 ( ).A.$45^{\circ }$ B.$39^{\circ }$ C.$29^{\circ }$ D.$21^{\circ }$

答案：
B　[解析]如图,过点A作AF//l,
∵直线l//m,
∴AF//m.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵AF//l,
∴∠BAF=∠ABE.
∵∠ABE=21°,
∴∠BAF=21°,
∴∠CAF=∠BAC−∠BAF=60°−21°=39°,
∵AF//m,
∴∠ACD=∠CAF=39°.故选B
　　思路引导　过点A作AF//l,由平行线的性质得出AF//m,根据平行线的性质得出∠BAF=∠ABE,∠ACD=∠CAF,根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°,即可求出∠ACD的度数.