《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

7.(2024·苏州吴中区期中)如图,点D在BC上,AC与DE相交于点O,∠1= ∠2,AE= AC,下面三个条件:①AB= AD;②BC= DE;③∠E= ∠C.请你从①②③中选一个条件,使△ABC≌△ADE.
(1)你添加的条件是②(填序号);
(2)添加了条件后,请证明△ABC≌△ADE.

∵∠1=∠2，∠AOE=∠COD，
∴∠E=∠C.
在△ABC和△ADE中，{AC=AE，∠C=∠E，BC=DE}
∴△ABC≌△ADE(SAS).

答案：
(1)②
(2)
∵∠1=∠2，∠AOE=∠COD，
∴∠E=∠C.
在△ABC和△ADE中，{AC=AE，∠C=∠E，BC=DE}
∴△ABC≌△ADE(SAS).
知识拓展 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL（直角三角形）.

8.一题多问 (2025·南京联合体期中)如图,在△ABC与△ADE中,点C在DE上,且AB= AD,AC= AE,∠BAD= ∠CAE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)点F在BC上,若AF= AC,求证:△ABF≌△ADC.

答案：
(1)
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，{AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE}
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，∠E=∠ACF，BC=DE.
由AC=AE，易得∠E=∠ACE.
由AF=AC，易得∠AFC=∠ACF，
∴∠E=∠ACE=∠AFC=∠ACF.
在△AFC和△AEC中，{∠AFC=∠E，∠ACF=∠ACE，AC=AC}
∴△AFC≌△AEC(AAS)，
∴CF=CE，
∴BC - CF=DE - CE，
∴BF=CD.
在△ABF和△ADC中，{AB=AD，∠B=∠D，BF=DC}
∴△ABF≌△ADC(SAS).

9.一线三等角模型 如图,在△ABC中,已知∠BAC= 90°,AB= AC,点P为边BC上一动点(BP＜CP),分别过点B,C作BE⊥AP于点E,CF⊥AP于点F.
(1)求证:EF= CF-BE.
(2)若点P为BC延长线上一点,其他条件不变,则线段BE,CF,EF是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.

答案：

(1)
∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠E=∠CFA=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中，{∠E=∠CFA，∠BAE=∠ACF，AB=CA}
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴AE=CF，BE=AF.
∵EF=AE - AF，
∴EF=CF - BE.
(2)EF=BE+CF.理由如下：
如图，
∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠E=∠AFC=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中，{∠E=∠AFC，∠BAE=∠ACF，AB=CA}
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴AE=CF，BE=AF.
∵EF=AF+AE，
∴EF=BE+CF.

10.(2025·苏州蠡口中学月考)如图,已知∠BAD= ∠BCD= 90°,AB= AD,点E在CD的延长线上,∠BAC= ∠DAE.
(1)如图(1),求证:△ABC≌△ADE;
(2)若AF为△ABC的BC边上的高(如图(2)),求证:EC= 2AF.

答案：

(1)
∵∠BAD=90°，∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°，
∴∠ACE+∠AEC=90°.
∵∠BCD=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠AED.
又AB=AD，
∴△ABC≌△ADE(AAS).
(2)如图，取CE中点G，连接AG，
∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE.
又CG=EG，AG=AG，
∴△AGC≌△AGE(SSS).
∴∠AGE=∠AGC=90°=∠CFA，CE=2CG，
∴∠GCA+∠GAC=90°.
又∠ACF+∠ACG=90°，
∴∠ACF=∠CAG.
∵AC=CA，
∴△ACF≌△CAG(AAS)，
∴AF=CG，
∴CE=2AF.