《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

1. (河南自主招生)如图(1),在长方形 ABCD 中,动点 P 从点A 出发沿A→D→C 方向运动到点 C 停止,动点 Q 从点 C 出发沿 C→A 方向运动到点 A 停止,若点 P,Q 同时出发,点 P 的速度为 2 cm/s,点 Q 的速度为 1 cm/s,设运动时间为 x s,AP-CQ= y cm,y 与 x 的函数关系图象如图(2)所示,则 AC 的长为(C).
A.8 cm
B.9 cm
C.10 cm
D.14 cm

答案： C [解析]根据题意,结合函数图象可知,当0≤x＜4时,点P在AD上运动;当x=4时,点P运动到点D,即AD=2×4=8(cm);当4＜x＜7时,点P在DC上运动;当x=7时,点P运动到点C,即CD=2×7 - 8=6(cm).在Rt△ADC中,AD=8cm,CD=6cm,则AC=10cm.故选C.

2. 如图,将含 45°角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中,其中点 A(-2,0),B(0,1),则直线 BC 的函数表达式为______.

答案：
y=−$\frac{1}{3}$x+1 [解析]如图,过点C作CD⊥x轴于点D.
∵∠CAB=90°,
∴∠DAC+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DAC=∠ABO.

在△AOB和△CDA中，{∠AOB = ∠CDA,∠ABO = ∠CAD,AB = CA,}
∴△AOB≌△CDA(AAS).
∵A(−2,0),B(0,1),
∴AD=BO=1,CD=AO=2,
∴OD=OA+AD=3,
∴C(−3,2).设直线BC的函数表达式为y=kx+b,
∴{-3k + b = 2,b = 1,}解得{k = -$\frac{1}{3}$,b = 1,}
∴直线BC的函数表达式为y=−$\frac{1}{3}$x+1.

3. 如图,正方形 ABCD 的边长为 4,动点 E 从点 A 出发,以每秒 2 个单位的速度沿 A→D→A 运动,动点 G 从点 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 A→B 运动,当有一个点到达终点时,另一点随之也停止运动.过点 G 作 FG⊥AB 交 AC 于点 F.设运动时间为 t(单位:秒).以 FG 为一直角边向右作等腰直角三角形 FGH,△FGH 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 S.

(1)当 t= 1.5 时,S= ______;当 t= 3 时,S= ______.
(2)在如图所示的网格坐标系中,设$ DE= y_1,AG= y_2,$画出$ y_1 $与$ y_2 $关于 t 的函数图象.

答案：

(1)$\frac{9}{8}$　$\frac{5}{2}$ [解析]
∵四边形ABCD是边长为4的正方形,
∴AB=AD=4,∠CAB=45°.
∵△FGH是等腰直角三角形,
∴∠FGH=90°,FG=GH,∠GFH=∠GHF=45°,则AG=FG=GH=t.当t=1.5时,如图
(1),重叠部分面积S=S△FGH=$\frac{1}{2}$FG·GH=$\frac{9}{8}$;

当t=3时,如图
(2),
∵AG=FG=GH=3,AB=4,
∴GB=AB - AG=1,BH=GH - GB=2.
∵∠PBH=90°,∠H=45°,
∴BH=BP=2,则重叠部分面积S=S梯形PBGF=$\frac{1}{2}$(PB + FG)·GB=$\frac{1}{2}$×(2 + 3)×1=$\frac{5}{2}$.

4. 如图,把 Rt△ABC 放在平面直角坐标系内,其中∠CAB= 90°,BC= 10,点 A,B 的坐标分别为(2,0),(8,0),将△ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落在直线 y= x-5 上时,线段 BC 扫过的面积为(B).
A.80
B.88
C.96
D.100

答案： B [解析]
∵点A,B的坐标分别为(2,0),(8,0),
∴AB=6.
∵∠CAB=90°,BC=10,
∴CA=8.
∴点C的纵坐标为8.
∵将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x - 5上时，将y=8代入,解得x=13,即点C向右平移了13 - 2=11(个)单位长度,
∴线段BC扫过的面积为11×8=88.故选B.

5. 数形结合思想 如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴交于点 A(8,0),与 y 轴交于点 B(0,8),点 D 为 OA 延长线上一动点,以 BD 为直角边在其上方作等腰直角三角形 BDE,连接 EA.
(1)求证:∠EAD= ∠OAB;
(2)求直线 EA 与 y 轴交点 F 的坐标.

答案：

(1)如图
(1),过点E作EG⊥x轴于点G.
∵△BDE是等腰直角三角形,
∴∠EGD=∠DOB=∠EDB=90°,ED=DB,
∴∠1 + ∠2=90°,∠2 + ∠3=90°,
∴∠1=∠3.在△EGD和△DOB中，{∠EGD = ∠DOB,∠1 = ∠3,ED = DB,}
∴△EGD≌△DOB(AAS),
∴EG=DO,GD=OB,
∵A(8,0),B(0,8),
∴OB=OA=8,
∴∠OAB=45°,GD=OA,
∴DO=DA + OA=DA + DG=AG,
∴EG=AG,
∴∠EAG=∠GEA=45°,
∴∠EAD=∠OAB.

(2)如图
(2),延长EA交y轴于点F.
∵∠EAD=45°,
∴∠OAF=45°,
∴OA=OF=8,
∴点F的坐标为(0,−8).