《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

9.(2025·苏州姑苏区期中)如图,C,D 是 AB 的垂直平分线上两点,延长 AC,DB 交于点 E,AF//BC 交 DE 于点 F. 求证：
(1)AB 是∠CAF 的平分线；
(2)∠FAD= ∠E.

答案：
(1)
∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB=CA，
∴∠CBA=∠CAB.
∵AF//BC，
∴∠BAF=∠CBA，
∴∠BAF=∠CAB，
即AB是∠CAF的平分线.
(2)
∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB=DA，
∴∠DBA=∠DAB.
∵∠DBA=∠E+∠CAB，∠DAB=∠FAD+∠BAF，∠CAB=∠BAF，
∴∠E=∠FAD.

10.(2025·苏州工业园区期中)如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,D 为线段 CE 的中点,BE= AC.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠B= 25°,求∠C 的度数.

答案：

(1)如图，连接AE，

∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵BE=AC，
∴AE=AC.
∵D为线段CE的中点，
∴DE=CD.
在△ADE与△ADC中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AC,\\ AD=AD,\\ DE=DC,\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ADC(SSS)，
∴∠ADE=∠ADC=90°.
(2)
∵AE=BE，∠B=25°，
∴∠EAB=∠B=25°，
∴∠AED=∠EAB+∠EBA=50°.
∴∠C=∠AED=50°.

11. 如图,在△ABC 中,边 AB 的垂直平分线$ l_1 $交 BC 于点 D,边 AC 的垂直平分线$ l_2 $交 BC 于点$ E,l_1 $与$ l_2 $相交于点 O,连接 OB,OC. 若△ADE 的周长为 12 cm,△OBC 的周长为 32 cm.
(1)求线段 BC 的长；
(2)连接 OA,求线段 OA 的长；
(3)若∠BAC= n°(n＞90),直接写出∠DAE 的度数.

答案：

(1)
∵$l_{1}$是边AB的垂直平分线，
∴DA=DB.
∵$l_{2}$是边AC的垂直平分线，
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为12cm，
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12cm.
(2)如图，连接OA.

∵$l_{1}$是边AB的垂直平分线，
∴OA=OB.
∵$l_{2}$是边AC的垂直平分线，
∴OA=OC.
∵OB+OC+BC=32cm，BC=12cm，
∴OA=OB=OC=10cm.
(3)∠DAE=2n°-180°.运用三角形内角和定理和中垂线定理证明即可.

12.(2023·台湾中考)如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,且 BD 的垂直平分线与 AB 相交于点 E,CD 的垂直平分线与 AC 相交于点 F,已知△ABC 的三个内角皆不相等,根据图中标示的角,判断下列叙述何者正确(C).

A.∠1= ∠3,∠2= ∠4
B.∠1= ∠3,∠2≠∠4
C.∠1≠∠3,∠2= ∠4
D.∠1≠∠3,∠2≠∠4

答案： C　[解析]
∵BD的垂直平分线与AB相交于点E，CD的垂直平分线与AC相交于点F，
∴EB=ED，FD=FC，
∴∠B=∠EDB，∠FDC=∠C.
∵∠1=∠B+∠EDB，∠3=∠FDC+∠C，∠B≠∠C，
∴∠1≠∠3.
∵∠4=180°-∠B-∠C，∠2=180°-∠EDB-∠FDC，
∴∠2=∠4.
综上所述，∠1≠∠3，∠2=∠4.故选C.

13.(2023·青海中考)如图,在△ABC 中,DE 是 BC 的垂直平分线. 若 AB= 5,AC= 8,则△ABD 的周长是13.

答案： 13　[解析]
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AC=AD+CD=AD+BD，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC=5+8=13.