《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠A= 90°,在边 BC 上取点 D,使得 CD= CA,过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于点 E. 若 AB= 10,DE= 4,求 BE 的长.

答案： 连接CE. 在Rt△AEC和Rt△DEC中，$\begin{cases} CA = CD, \\ CE = CE, \end{cases}$
∴Rt△AEC≌Rt△DEC(HL)，
∴AE = DE.
∵DE = 4，
∴AE = 4.
∵AB = 10，
∴BE = AB - AE = 10 - 4 = 6.

10. (2024·南京二十九中月考)如图,已知∠A= ∠D= 90°,E,F 在线段 BC 上,DE 与 AF 交于点 O,且 AB= CD,BE= CF. 求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.

答案：
∵BE = CF，
∴BE + EF = CF + EF，即BF = CE.
∵∠A = ∠D = 90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形. 在Rt△ABF和Rt△DCE中，$\begin{cases} BF = CE, \\ AB = DC, \end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).

11. 角平分线模型 (2025·无锡江阴期中)在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,点 D 是 CB 延长线上一点,点 E 是线段 AB 上一点,连接 DE. AC= DE,BC= BE.
(1)求证:AB= BD;
(2)BF 平分∠ABC 交 AC 于点 F,点 G 是线段 FB 延长线上一点,连接 DG,点 H 是线段 DG 上一点,连接 AH 交 BD 于点 K,连接 KG. 当 KB 平分∠AKG 时,求证:AK= DG+KG.

答案：

(1)在Rt△ACB和Rt△DEB中，$\begin{cases} AC = DE, \\ BC = BE, \end{cases}$
∴Rt△ACB≌Rt△DEB(HL)，
∴AB = BD.
(2)如图，作BM平分∠ABD交AK于点M.
∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，BF平分∠ABC，
∴∠ABM = ∠MBD = 45°，∠AKB = ∠BKG，∠ABF = ∠FBC = 45°.

∵∠FBC = ∠DBG = 45°，
∴∠MBD = ∠GBD. 在△BMK和△BGK中，$\begin{cases} \angle MBK = \angle GBK, \\ BK = BK, \\ \angle MKB = \angle GKB, \end{cases}$
∴△BMK≌△BGK(ASA)，
∴BM = BG，MK = KG. 在△ABM和△DBG中，$\begin{cases} AB = DB, \\ \angle ABM = \angle DBG, \\ BM = BG, \end{cases}$
∴△ABM≌△DBG(SAS)，
∴AM = DG.
∵AK = AM + MK，
∴AK = DG + KG.

12. 中考新考法 过程纠错改错 (2023·南通中考)如图,点 D,E 分别在 AB,AC 上,∠ADC= ∠AEB= 90°,BE,CD 相交于点 O,OB= OC. 求证:∠1= ∠2.
小虎同学的证明过程如下：
证明:∵∠ADC= ∠AEB= 90°,
∴∠DOB+∠B= ∠EOC+∠C= 90°.
∵∠DOB= ∠EOC,
∴∠B= ∠C. ……第一步
又 OA= OA,OB= OC,
∴△ABO≌△ACO. ……第二步
∴∠1= ∠2. ……第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第二步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程.

∵∠ADC = ∠AEB = 90°，
∴∠BDC = ∠CEB = 180° - 90° = 90°. ∠BDO = ∠CEO，在△DOB和△EOC中，$\begin{cases} \angle DOB = \angle EOC, \\ OB = OC, \end{cases}$
∴△DOB≌△EOC(AAS)，
∴OD = OE. 在Rt△ADO和Rt△AEO中，$\begin{cases} OD = OE, \\ OA = OA, \end{cases}$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠1 = ∠2.

答案：
(1)二
(2)
∵∠ADC = ∠AEB = 90°，
∴∠BDC = ∠CEB = 180° - 90° = 90°. ∠BDO = ∠CEO，在△DOB和△EOC中，$\begin{cases} \angle DOB = \angle EOC, \\ OB = OC, \end{cases}$
∴△DOB≌△EOC(AAS)，
∴OD = OE. 在Rt△ADO和Rt△AEO中，$\begin{cases} OD = OE, \\ OA = OA, \end{cases}$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠1 = ∠2.