《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

1. (全国初中数学联赛)在$\triangle ABC$中,已知$AC= 5$,中线$AD= 4$,则边$AB$的取值范围是(B).
A.$1 ＜ AB ＜ 9$
B.$3 ＜ AB ＜ 13$
C.$5 ＜ AB ＜ 13$
D.$9 ＜ AB ＜ 13$

答案： B [解析] 延长 AD 到点 E，使 DE=AD，连接 EC，则△ABD≌△ECD，
∴AB=EC.
∵AD=4，
∴AE=AD+DE=8.在△ACE 中，AE - AC ＜ CE ＜ AE + AC，即 8 - 5 ＜ CE ＜ 8 + 5，
∴3 ＜ CE ＜ 13，
∴3 ＜ AB ＜ 13.故选 B.

2. [全国初中数学竞赛(湖北荆州)预赛]在正方形$ABCD$中,$\angle MAN= 45^{\circ}$,$\angle MAN绕点A$顺时针旋转,它的两边分别交$CB$,$DC$(或它们的延长线)于点$M$,$N$.如果$\angle MAN$在如图(1)所示的位置时,有$BM+DN= MN$成立(不必证明).请问当$\angle MAN绕点A$旋转到如图(2)所示的位置时,线段$BM$,$DN和MN$之间又有怎样的数量关系?请说明理由.

答案：
DN - BM = MN.理由如下：
如图，在 DC 上截取 DE = BM，连接 AE.

在△ADE 和△ABM 中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AB,\\ ∠D=∠ABM,\\ DE=BM,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△ABM(SAS)，
∴AE = AM，∠1 = ∠4.
∵∠1 + ∠2 = 45°，
∴∠2 + ∠4 = 45°，
∴∠3 = 45°，
∴∠MAN = ∠EAN.在△AEN 和△AMN 中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AM,\\ ∠EAN=∠MAN,\\ AN=AN,\end{array}\right. $
∴△AEN≌△AMN(SAS)，
∴MN = EN，
∴MN = EN = DN - DE = DN - BM.