《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

变式 2.1 如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,其中∠BAC= 90°,AB= AC,点 D 为△ABC 外一点,且∠BDA= 45°,BD= 4,求△BCD 的面积.

答案：
如图,过点A作AE⊥AD交BD于点E,连接CE,
则∠DAE=90°.

∵∠ADB=45°,
∴∠DEA=45°,
∴AD=AE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB,
即∠DAB=∠EAC,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴EC=DB=4,∠DBA=∠ECA.
∵∠ECA+∠BCE=45°,
∴∠DBA+∠BCE=45°.
又∠ABC=45°,
∴∠BEC=90°,即CE⊥BD,
∴S△BCD=$\frac{1}{2}$CE·BD=$\frac{1}{2}$×4×4=8.

变式 2.2 如图,△ABC 为等腰直角三角形,AC= BC,∠ACB= 90°,若∠CDB= 45°,AE//BD,CE⊥CD,求证：AE= BD.

答案：
延长DC交AE于点F,连接BF,如图.

∵AE//BD,
∴∠EFC=∠BDC=45°.
∵EC⊥CD,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴CE=CF.
∵∠ECF=∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCF.
∵AC=BC,
∴△CEA≌△CFB(SAS),
∴AE=BF,∠BFC=∠E=45°=∠BDC,
∴BF=BD,
∴AE=BD.

变式 2.3 在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,点 D 是△ABC 外一点,AC= BC,∠BDC= 45°,连接 AD,求证：∠BDA= 90°.

答案：
如图,作CE⊥CD,交BD于点E,
∴∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠ACD=∠BCE.
∵∠DCE=90°,∠CDE=45°,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∴CD=CE,∠CEB=135°.
∵AC=BC,
∴△CDA≌△CEB(SAS),
∴∠CDA=∠CEB=135°,
∴∠ADB=135°−45°=90°.

3. (2024·宜宾中考)如图,点 D,E 分别是等边三角形 ABC 边 BC,AC 上的点,且 BD= CE,BE 与 AD 交于点 F. 求证：AD= BE.

答案：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.
在△ABD和△BCE中,{AB=BC,∠ABD=∠C,BD=CE}
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.

变式 3.1 如图,AD 是等边三角形 ABC 的中线,E,F 分别为边 AC 和 AD 上两个动点,且 AF= CE. 当 BE+CF 最小时,求∠BEC 的度数.

答案：
如图
(1),作CH⊥BC,且CH=BC,连接BH交AC于点M,连接EH.
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴AC=BC,∠DAC=30°,
∴AC=CH.
∵∠BCH=90°,∠ACB=60°,
∴∠ACH=90°−60°=30°,
∴∠DAC=∠ACH=30°.
∵AF=CE,
∴△AFC≌△CEH(SAS),
∴CF=EH,BE+CF=BE+EH,
∴当M与E重合,即E为AC与BH的交点时,如图
(2),
BE+CF的值最小,
→最短路径的实质是两点之间线段最短
此时∠EBC=45°,∠ECB=60°,
∴∠BEC=180°−45°−60°=75°.

变式 3.2 如图,在△ABC 中,AB= AC,∠BAC= 65°,BD 是 AC 边上的高,点 E,F 分别在 AB,BD 上,且 AE= BF,当 AF+CE 的值最小时,求∠AFD 的度数.

答案：
如图,过点A作AG⊥AC,使得AG=AB,连接GE.
∵BD⊥AC,GA⊥AC,
∴BD//AG,
∴∠ABF=∠GAE.
∵AG=BA,AE=BF,
∴△AGE≌△BAF(SAS),
∴AF=GE,
∴AF+CE=GE+CE,
∴当G,E,C三点共线时,AF+CE的最小值等于CG的长,此时,AG=AC,∠GAC=90°,即△ACG是等腰直角三角形,
∴∠G=45°=∠BAF.
∵Rt△ABD中,∠ABD=90°−65°=25°,
∴∠AFD=∠ABF+∠BAF=25°+45°=70°.