《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

【例1】 对于任意实数x,y,z,定义运算“*”为$x*y= \frac{3x^{3}y+3x^{2}y^{2}+xy^{3}+45}{(x+1)^{3}+(y+1)^{3}-60}$,且x*y*z= (x*y)*z,则2025*2024*…*3*2的值为( C ).
A.$\frac{607}{967}$

B.$\frac{1821}{967}$
C.$\frac{5463}{967}$
D.$\frac{16389}{967}$
解析:设2025*2024*…*4= m,
则(2025*2024*…*4)*3= m*3= $\frac{3m^{3}×3+3m^{2}×9+m×27+45}{m^{3}+3m^{2}+3m+1+64-60}= 9$,
∴(2025*2024*…*3)*2= 9*2= $\frac{3×9^{3}×2+3×9^{2}×2^{2}+9×2^{3}+45}{10^{3}+3^{3}-60}= \frac{5463}{967}$.
答案:C

答案： 【解析】：
本题可根据所给的新定义运算，先设$2025*2024*\cdots*4 = m$，然后逐步根据运算规则求出$(2025*2024*\cdots*4)*3$即$m*3$的值，再求出$(2025*2024*\cdots*3)*2$即$9*2$的值。
1. 首先求$m*3$的值：
已知$x*y=\frac{3x^{3}y + 3x^{2}y^{2}+xy^{3}+45}{(x + 1)^{3}+(y + 1)^{3}-60}$，将$x = m$，$y = 3$代入可得：
$m*3=\frac{3m^{3}×3 + 3m^{2}×9 + m×27 + 45}{m^{3}+3m^{2}+3m + 1 + 64 - 60}$
对分子分母分别化简：
分子$3m^{3}×3 + 3m^{2}×9 + m×27 + 45=9m^{3}+27m^{2}+27m + 45=9(m^{3}+3m^{2}+3m + 5)$；
分母$m^{3}+3m^{2}+3m + 1 + 64 - 60=m^{3}+3m^{2}+3m + 5$。
所以$m*3=\frac{9(m^{3}+3m^{2}+3m + 5)}{m^{3}+3m^{2}+3m + 5}=9$。
2. 接着求$9*2$的值：
将$x = 9$，$y = 2$代入$x*y=\frac{3x^{3}y + 3x^{2}y^{2}+xy^{3}+45}{(x + 1)^{3}+(y + 1)^{3}-60}$可得：
$9*2=\frac{3×9^{3}×2 + 3×9^{2}×2^{2}+9×2^{3}+45}{10^{3}+3^{3}-60}$
分别计算分子分母：
分子$3×9^{3}×2 + 3×9^{2}×2^{2}+9×2^{3}+45=3×729×2 + 3×81×4 + 9×8 + 45=4374+972 + 72 + 45=5463$；
分母$10^{3}+3^{3}-60=1000 + 27 - 60=967$。
所以$9*2=\frac{5463}{967}$，即$2025*2024*\cdots*3*2=\frac{5463}{967}$。
【答案】：C

【例2】 (全国初中数学竞赛)已知$a= \sqrt{5}-1$,则$2a^{3}+7a^{2}-2a-12$的值等于0.

答案： 解：因为$a = \sqrt{5} - 1$，所以$a + 1 = \sqrt{5}$，两边平方得$(a + 1)^2 = 5$，即$a^2 + 2a + 1 = 5$，所以$a^2 + 2a = 4$。
$2a^3 + 7a^2 - 2a - 12$
$= 2a^3 + 4a^2 + 3a^2 - 2a - 12$
$= 2a(a^2 + 2a) + 3a^2 - 2a - 12$
$= 2a×4 + 3a^2 - 2a - 12$
$= 8a + 3a^2 - 2a - 12$
$= 3a^2 + 6a - 12$
$= 3(a^2 + 2a) - 12$
$= 3×4 - 12$
$= 12 - 12$
$= 0$
答案：0

1.(第二十届“希望杯”全国数学邀请赛)将x的整数部分记为[x],x的小数部分记为{x},易知x= [x]+{x}(0≤{x}＜1).若$x= \sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$,则[x]等于(A).
A.-2
B.-1
C.0
D.1

答案： 1.A

2.(全国初中数学联赛)若实数a,b,c满足等式$2\sqrt{a}+3|b|= 6$,$4\sqrt{a}-9|b|= 6c$,则c可能取的最大值为(C).
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 2.C

3.[全国初中数学竞赛(福建赛区)初赛]如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式$\sqrt{a^{2}}-|a+b|+\sqrt{(c-a)^{2}}+|b+c|$可以化简为(C).

A.2c-a
B.2a-2b
C.-a
D.a

答案： 3.C

4.(全国初中数学竞赛)设$a= \sqrt[3]{3}$,b是$a^{2}$的小数部分,则$(b+2)^{3}$的值为______9.

答案： 4.9 解析 由于1＜a＜2＜a²＜3,故b=a²-2=$\sqrt[3]{9}-2$,因此$(b+2)^3=(\sqrt[3]{9})^3=9$.

5.(全国初中数学竞赛)设a,b,c是素数,记x= b+c-a,y= c+a-b,z= a+b-c,当$z^{2}= y$,$\sqrt{x}-\sqrt{y}= 2$时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

答案： 5.不能.证明如下:
依题意,得$a=\frac{1}{2}(y+z)$,$b=\frac{1}{2}(x+z)$,$c=\frac{1}{2}(x+y)$.
因为$y=z^2$,
所以$a=\frac{1}{2}(y+z)=\frac{1}{2}(z^2+z)=\frac{z(z+1)}{2}$.
由于z为整数,a为素数,
所以z=2或-3,a=3.
当z=2时,$y=z^2=4$,$x=(\sqrt{y}+2)^2=16$,
进而b=9,c=10,与b,c是素数矛盾;
当z=-3时,a+b-c＜0,
所以a,b,c不能构成三角形的三边长.