《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

1. 手拉模型(2025·无锡江阴实验中学月考)在△ABC中,AB= AC,点D是射线CB上的一动点(不与点B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD= AE,∠DAE= ∠BAC,连接CE.
(1)如图(1),当点D在线段CB上,且∠BAC= 90°时,那么∠DCE= ______度；
(2)设∠BAC= α,∠DCE= β.
①如图(2),当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论；
②如图(3),当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图(3)补充完整,写出此时α与β之间的数量关系并证明.

答案：

(1)90 [解析]
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.
(2)①α+β=180°.证明如下:
∵∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∵∠B+∠ACB=180° - α,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180° - α=β,
∴α+β=180°.
②α=β.证明如下:
作出图形如图所示，
∵∠BAD+∠BAE=α,
∠BAE+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠AEC=∠ADB.
∵∠ADE+∠AED+α=180°,∠CDE+∠CED+β=180°,∠CED=∠AEC+∠AED,
∴α=β.

2.(2025·河北承德期末)如图,AE与BD相交于点C,AC= EC,BC= DC,AB= 8 cm,点P从点A出发,沿A→B→A方向以2 cm/s的速度运动,点Q同时从点D出发,沿D→E方向以1 cm/s的速度运动,当点P到达点A时,P,Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.
(1)当点P在A→B运动时,BP= ______(8 - 2t)cm；(用含t的代数式表示)
(2)求证：AB= ED；
证明：在△ABC和△EDC中,{BC=DC,∠BCA=∠DCE,AC=EC}∴△ABC≌△EDC(SAS),∴AB=ED.
(3)当P,Q,C三点共线时,求t的值.
解：根据题意得DQ=tcm,则EQ=(8 - t)cm.∵△ABC≌△EDC,∴∠A=∠E,DE=AB=8cm.∵P,Q,C三点共线,∴∠ACP=∠ECQ.在△ACP和△ECQ中,{∠A=∠E,AC=EC,∠ACP=∠ECQ}∴△ACP≌△ECQ(ASA),∴AP=EQ,∴当0≤t≤4时,2t=8 - t,解得t=$\frac{8}{3}$.当4＜t≤8时,AP=(16 - 2t)cm,∴16 - 2t=8 - t,解得t=8.综上所述，当P,C,Q三点共线时,t的值为$\frac{8}{3}$或8.

答案：
(1)(8 - 2t)cm [解析]点P从点A出发,沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动,点Q同时从点D出发，沿D→E 方向以1cm/s的速度运动，设点P的运动时间为ts.
根据题意得AP=2tcm,则BP=(8 - 2t)cm.
(2)在△ABC和△EDC中,{BC=DC,∠BCA=∠DCE,AC=EC}
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴AB=ED.
(3)根据题意得DQ=tcm,则EQ=(8 - t)cm.
∵△ABC≌△EDC,
∴∠A=∠E,DE=AB=8cm.
∵P,Q,C三点共线,
∴∠ACP=∠ECQ.
在△ACP和△ECQ中,{∠A=∠E,AC=EC,∠ACP=∠ECQ}
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ,
∴当0≤t≤4时,2t=8 - t,解得t=$\frac{8}{3}$.
当4＜t≤8时,AP=(16 - 2t)cm,
∴16 - 2t=8 - t,解得t=8.
综上所述，当P,C,Q三点共线时,t的值为$\frac{8}{3}$或8.

3.(2025·广东东莞光明中学期中)如图(1),AB= 14 cm,AC= 10 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在射线BD上运动,它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时,点Q运动随之结束).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t= 2时,△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由.
(2)如图(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB= ∠DBA”,点Q的运动速度为x cm/s,其他条件不变,当点P,Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等？求出相应的x和t的值.

答案：
(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
当t=2时,AP=BQ=2×2=4(cm),
∴BP=AB - AP=10cm,
∴BP=AC.
在△ACP和△BPQ中,{AP=BQ,∠A=∠B,AC=BP}
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠C=∠BPQ.
∵∠C+∠APC=90°,
∴∠APC+∠BPQ=90°,
∴∠CPQ=90°,
∴PC⊥PQ.
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,可得10=14 - 2t,2t=xt,
解得x=2,t=2;
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,可得10=xt,2t=14 - 2t,
解得x=$\frac{20}{7}$,t=$\frac{7}{2}$.
综上所述,当△ACP与△BPQ全等时,x=2,t=2或x=$\frac{20}{7}$,t=$\frac{7}{2}$.