《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

4. 分类讨论思想 如图,CA⊥AB,垂足为A,射线BM⊥AB,垂足为B,AB= 12 cm,AC= 6 cm.动点E从点A出发以3 cm/s的速度沿射线AN运动,动点D在射线BM上,随着点E运动而运动,始终保持ED= CB.若点E的运动时间为t s(t＞0),则当t为多少时,△DEB与△BCA全等？

答案： ①当点E在线段AB上,且AC=BE时,△ACB≌△BED,
∵AC=6cm,
∴BE=6cm,
∴AE=12 - 6=6(cm),
∴点E的运动时间为6÷3=2(s);
②当E在射线BN上,AC=BE时,
∵AC=BE=6cm,
∴AE=12+6=18(cm),
∴点E的运动时间为18÷3=6(s);
③当E在线段AB上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,这时E在A点未动,因此时间为0s(舍去此情况);
④当E在射线BN上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,
AE=12+12=24(cm),
∴点E的运动时间为24÷3=8(s).
综上,t的值为2或6或8.

5. 一线三等角模型 在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE= AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,(1)中的结论还成立吗？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.

答案：
(1)①
∵∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠ECB.
在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC=∠ECB,AC=CB}
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②
∵△ADC≌△CEB,
∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)△ADC≌△CEB成立,DE=AD+BE不成立,此时应有DE=AD - BE.理由如下:
∵∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCE.
又AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=AD - BE.